Магнитная гидродинамика, страница 3

Физически же пренебрежение токами смещения означает, что между изменениями  нет запаздывания. Значения   в некоторый момент времени определяется значениями   в тот же момент времени. Таким образом, уравнения электродинамике в магнитной гидродинамике имеют вид:                                                                                       (13.1.6)

13.2 Уравнения движения проводящей жидкости в магнитном поле

 Из уравнений системы (13.1.6) следует, что уравнения движения проводящей жидкости и уравнения электродинамики могут быть связаны через силу Лоренца, входящую в закон Ома.

Уравнение движения проводящей жидкости в общем виде можно записать следующим образом:

 .                     (13.2.7)

В уравнении (13.2.7) -по-прежнему массовая сила не электромагнитного происхождения. Для непроводящей жидкости, как и прежде, имеем:

 .

В проводящей же жидкости, находящейся в электрическом и магнитном полях, возникают силы электромагнитного происхождения тензорного характера. Эти силы определяются, как известно тензорами электрических и магнитных напряжений. При постоянных  они имеют вид:

 .  (13.2.8)

Силы электрического и магнитного происхождения, действующие на единицу массы проводящей жидкости, могут быть найдены по общему правилу:

 .                (13.2.9)

Очевидно, следует добавить к правой части уравнения (13.2.7).

13.2.1. Электрические массовые силы

Найдем силу, действующую на единицу массы со стороны электрического поля ( ):

Не трудно видеть, что последнее выражение можно записать в следующем векторном виде:

.

Если на вещество действует только электрическое поле, то из системы уравнений (13.1.6) следует (при ), что . Принимая во внимание систему (13.1.6) имеем:

 .                                   (13.2.10)

13.2.2. Магнитные массовые силы

Рассмотрим силы, действующие на проводящее вещество в магнитном поле. Если выделить в веществе единичный кубик с гранями, перпендикулярными осям координат (рис.1), то силы, действующие на грани этого кубика можно получить, рассмотрев компоненты тензора магнитных напряжений:

 .                               (13.2.11)

 

Так, силы, действующие нормально к граням кубика, очевидно, представляют из себя магнитные давления и равны:

Недиагональные элементы тензора напряжений, очевидно, представляют собой касательные силы, действующие на грани единичного кубика:

                 (13.2.12)

Пусть постоянное магнитное поле направлено вдоль оси  то есть .Представим себе, что элементарные кубики нанизаны на соседние магнитные силовые линии. Тогда взаимодействие магнитного поля с веществом можно в духе Максвелла представить в виде отталкивания друг от друга магнитных силовых линий с силой  и их натяжения с силой .