Пример 1.23
а) Х - множество людей; R = {(x, y) | x – знаком с y}
Так как каждый человек знаком сам с собой, то свойство рефлексивности выполняется.
б) Х - множество натуральных чисел; R = {(x, y) | x – делитель y}
Так как каждое натуральное число является своим собственным делителем, то свойство рефлексивности выполняется.
в) Х - множество треугольников; R = {(x, y) | Dх подобен Dy}
Так как каждый треугольник подобен сам себе, то это отношение рефлексивно.
2) Антирефлексивность
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если
"х"y (xRy => x ¹y), т.е. из принадлежности любой пары (x, y) отношению R следует, что первый элемент этой пары не совпадает со вторым. Иначе говоря, ни одна пара вида (х, х) не входит в отношение.
В матрице антирефлексивного отношения на главной диагонали стоят только нули, графическое представление не содержит ни одной петли.
Пример 1.24.
а) Х – множество людей; R = {(x, y)| x - брат y}
Так как ни один человек не может быть братом самому себе, то это отношение антирефлексивно.
б) Х - множество участников шахматного турнира; R = {(x, y) | x – победитель y}.
Так как ни один участник турнира не играет сам с собой и, следовательно, не может быть победителем самого себя, то это отношение антирефлексивно.
в) Х - множество прямых на плоскости; R = {(x, y) | прямая x перпендикулярна прямой y}.
Так как ни одна прямая не может быть перпендикулярна самой себе, то свойство антирефлексивности для этого отношения выполняется.
3) Симметричность
Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что
(x, y)
ÎR, следует, что и пара (y, x)
ÎR.
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. В графическом представлении каждой стрелке, идущей от одного объекта к другому, соответствует стрелка, идущая в противоположном направлении.
Пример 1.25.
а) Х - множество людей; R = {(x, y) | x – знаком с y}
Так как из знакомства человека х с человеком y следует, что и человек y знаком с человеком х, то это отношение симметрично.
б) Х - множество треугольников; R = {(x, y)| Dх подобен Dy}
Так как из подобия треугольника х треугольнику y следует и подобие треугольника y треугольнику х, то это отношение симметрично.
в) Х - множество прямых на плоскости; R = {(x, y) | прямая xперпендикулярна прямой y}.
Так как из того, что прямая х перпендикулярна прямой y следует, что и прямая y перпендикулярна прямой х, то отношение перпендикулярности прямых симметрично.
4) Асимметричность
Отношение R на множестве Х называется асимметричным, если из того, что (x, y) ÎR, следует, что пара (y, x) Ï R.
Пример 1.26.
а) Х - множество участников шахматного турнира; R = {(x, y) | x – победитель y}.
Так как из того, что игрок х победил в турнире игрока y, следует, что игрок y не победил игрока х, то это отношение асимметрично.
б) Х - множество людей; R = {(x, y)| x – отец y}
Если х – отец y, то y не может быть отцом х, следовательно, это отношение асимметрично.
в) Х - множество людей; R = {(x, y)| x младше y}
Если x младше y, то y не может быть младше х, следовательно, это отношение асимметрично.
5) Антисимметричность
Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если из того, что (x, y) ÎR и (y, x) ÎR, следует, что x = y.
Пример 1.27.
а) Х – множество целых чисел; R = {(x, y) | х – делитель y}
Если х является делителем y и одновременно y является делителем х, то отсюда следует, что х и y – одно и то же число.
б) Х – множество вещественных чисел; R = {(x, y) | х £ y}.
Если х £y и y £x, то это значит, что x = y.
6) Транзитивность
Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что
(x, y) ÎR и (y, z) ÎR следует, что (x, z) ÎR.
Пример 1.28.
а) Х – множество целых чисел; R = {(x, y)| x – делитель y}.
Если число х является делителем числа y и число y является делителем числа z, то х является делителем числа z. Условие транзитивности выполняется.
б) Х – множество треугольников; R = {(x, y)| Dх подобен Dy}
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.