Автоматизированные измерения и моделирование свойств случайных процессов: Учебно методическое пособие, страница 6

Раздел 3. СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Стационарные процессы. Это такие случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех временных сечениях. Говорят, что случайный процесс  строго стационарен (или стационарен  в узком смысле), если его многомерная  плотность вероятности  произвольной  размерности не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений  процесса  вдоль оси времени на одинаковую величину t:

при любом  t.

Если же ограничить требования тем, чтобы от временного сдвига не зависели лишь одномерная и двумерная плотности вероятности, то такой случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависят не от самих моментов времени, а только от интервала  между  ними   

                                                     

По этой причине при обозначениях статистических параметров стационарного случайного процесса можно опускать обозначения  фиксированных моментов времени.

Легко убедиться, что корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной:                      

                                (3.1)

   Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых t не превышают ее значения при t  = 0 (напомним, что это значение равно дисперсии случайного процесса):

Часто удобно использовать коэффициент корреляции (его также называют нормированной корреляционной функцией)

                         (3.2)

   Для   коэффициента   корреляции   выполняются   соотношения  и .   Корреляционная функция R(t) (или коэффициент корреляции) характеризует статистическую связь между значениями X(t), разделенными промежутком t . Чем медленнее убывает эта  функция с ростом абсолютного значения t  , тем больше промежуток, в течение которого значения случайного процесса можно считать связанными.

   Эргодические случайные процессы. До сих пор при рассмотрении случайных процессов мы опирались на понятие статистического ансамбля их реализаций. Возможность получения такого ансамбля редко встречается на практике.

   Существенное упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условий  эргодичности процесса. Стационарный  случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению по времени одной, теоретически бесконечно длинной, реализации.

   Обозначив усреднение по времени угловыми скобками, можно записать следующие выражения, позволяющие вычислить важнейшие статистические характеристики эргодического случайного процесса по его единственной реализации x(t) (еще раз обращаем внимание на то, что эргодический случайный процесс обязательно является и стационарным, но не наоборот):

(3.3)

 

   Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия имеет наглядный физический смысл мощности его флуктуационной компоненты.

    В теории случайных процессов доказывается, что достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле,  является стремление к нулю его функции корреляции с ростом временного аргумента t . Обычно это труднодоказуемо, поскольку стационарность в широком смысле сама по себе требует доказательств. На практике считается, что все случайные процессы, встречающиеся в физических экспериментах, эргодичны. Тогда,  по единственной реализации случайного процесса можно определить математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию  случайного процесса. Интегрирование выполняется, естественно, на конечном интервале Т,  длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов измерения.