Для того чтобы определить статистические параметры огибающей и начальной фазы узкополосного процесса (4.7) , поставим в соответствие вещественному случайному процессу x(t) некоторый комплексный случайный процесс, определённый следующим образом:
(4.8)
где сопряженный процесс,
реализации которого связаны с реализациями
преобразованием Гильберта:
(4.9)
В теории узкополосных случайных процессов доказывается, что с помощью сопряженного сигнала можно определить мгновенные значения огибающей и полной фазы узкополосного сигнала (4.7):
Можно показать, что
вычисленные сопряженные процессы в совпадающие моменты времени некоррелированы.
Кроме того, они имеют нормальное распределение плотности вероятности. Можно огибающую
A(t) пронормировать
на её среднеквадратичное значение, то получится безразмерная случайная функция . Как показывает теория, плотность
вероятности величины
имеет вид:
(4.10)
это известное распределение Рэлея. График этого распределения показан на Рис. 4.4.
![]() |
Рис.4.4. Плотность вероятности огибающей узкополосного
случайного процесса (распределение Релея)
Из графика видно, что наиболее вероятны значения амплитуды порядка её среднеквадратичного значения. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения близкие к нулю, или очень большие значения, сильно превосходящие среднеквадратичный уровень.
Узкополосный случайный процесс при наличии детерминированной составляющей. Если узкополосный процесс содержит детерминированную составляющую (например, к нему примешана гармоническая компонента), то плотность вероятности огибающей подчиняется распределению Релея – Райса [ 3 ]:
(4.11)
где –
амплитуда огибающей детерминированной компоненты сигнала в данный момент
времени,
– дисперсия,
– функция
Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента. На Рис. 4.5 показаны графики
данной плотности вероятности для различных соотношений
–
амплитуды детерминированной компоненты к среднеквадратичному уровню случайной
компоненты.
![]() |
Рис.4.5. Плотность вероятности огибающей узкополосного шума при
наличии детерминированной составляющей (гармонического сигнала)
Из Рис.4.5 хорошо видно, что при отсутствии гармонической компоненты распределение переходит в распределение Релея, а при большой амплитуде этой компоненты распределение стремится к нормальному.
Проведенное рассмотрение охватывает лишь самые начала теории случайных процессов.Более подробное изложение этой теории можно найти в [ 3 ], [ 5 ], [ 6 ] и др. Обратимся теперь к примерам статистического описания конкретных случайных процессов. Для этого рассмотрим возможности моделирования процессов с различными функциями распределения вероятности, генерации соответствующих им цифровых реализаций сигналов, вычисления некоторых модельных параметров процессов.
Раздел 5. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В системе МАТЛАБ существует пакет расширения Statistics Toolbox. Он представляет собой набор программ, ориентированных на весьма широкий спектр задач – от генерации сигналов с заданными функциями распределения и подбора кривых под экспериментальные данные, до планирования экспериментов и задач промышленного статистического контроля. Набор функций этого расширения весьма обширен, в последних версиях МАТЛАБ их свыше двухсот. Мы ограничимся изучением некоторых из них, это позволит глубже понять теоретический материал, изложенный выше. По ходу изложения будем формулировать конкретные задачи , которые необходимо будет выполнить в ходе реботы.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.