Гидравлика: Лабораторный практикум, страница 8

X = j - g×sin a ; Y = 0 ; Z = - g×cos a.

Подставляя эти выражения в уравнение равновесия (2.1), получаем

dp = [(j - g×sin a)dx - g×cos a dz],

а после интегрирования

p = (j - g×sin a)×x - g×cos a×z + C, (2.2)

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий на свободной поверхности при x = 0, z = z₀ и p = p₀.

После подстановки граничных условий получаем закон распределения давления:

p = р₀+(j - g×sin a)×x +×g×cos a×(z₀ - z). (2.3)

Так как на поверхности уровня давление одинаково в любой ее точке, полагая в уравнении (2.2) p = const, получаем уравнение поверхностей уровня

( j - g×sin a)×x - ×g×cos a×z + C₁ = 0. (2.4)

Уравнение (2.4) дает семейство плоскостей, параллельных оси Y. Одной из этих плоскостей является свободная поверхность.

Подставляя в формулу (2.4) граничные условия x = 0 и z = z₀, находим

C₁ = ×g×z₀×cos a.

Уравнение свободной поверхности имеет вид

, (2.5)

где .

2.3. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде,

равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси

Равновесие жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, реализуется лишь при постоянной угловой скорости вращения w = const (рис. 2.2).

По истечении достаточного времени после начала вращения жидкость приобретает ту же скорость вращения, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится и вся свободная поверхность станет некоторой поверхностью вращения (рис.2.2, а). На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w²r.

При проецировании на оси координат равнодействующей массовых сил (рси.2.2, б) получим выражения

X = w² r cos a= w² ×x ; Y = w² ×r×sin a = w² ×y ; Z = – g.

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получаем

dp = (w²xdx +w²ydy – gdz),

или

dp = (w²rdr – g dz).

После интегрирования находим

. (2.6)

Подставляя в уравнение (2.6) граничные условия r = 0, z = z₀ и p = p₀, находим постоянную интегрирования

C = р₀ + ρg×z₀.

Тогда закон распределения давления можно выразить формулой

, (2.7)

т. е. в этом случае также справедлив линейный закон распределения давления по глубине. Изменение давления по радиусу подчиняется параболическому закону. Полагая p = const, из выражения (2.6) получим уравнение поверхностей уровня:

. (2.8)

Эти поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.

Так как в вершине параболоида свободной поверхности r = 0, z = z₀, C₁ = g×z₀ ,то уравнение свободной поверхности примет вид

. (2.9)

Зависимость

(2.10)

при постоянном радиусе (r= const) устанавливает связь между величиной возвышения любой точки, расположенной на свободной поверхности над точкой, лежащей на оси вращения, и угловой скоростью w. Она позволяет определить число оборотов цилиндра, если известно превышение , что и используется при конструировании жидкостных тахометров, с помощью которых измеряется число оборотов вала.