Назначение лазерного резонатора, виды потерь в лазерном резонаторе. Число Френеля и его физический смысл. Добротность лазерного резонатора и её связь с потерями в резонаторе. Добротность резонатора и её связь с полосой пропускания, страница 9

, где  - параметр, характеризующий масштаб распределения; и - полиномы Эрмита порядка, соответствующего индексу поперечной моды. Для типов колебаний низших порядков полиномы Эрмита равны: ;; ; . Распределение интенсивности излучения, соответствующее низшим модам, показано на рисунке1. Основная мода  имеет распределение, описываемое функцией Гаусса, симметрично расположенной относительной начала координат. Для последующих мод характерно более сложное распределение с симметричным чередованием максимумов и нулевых минимумов. Число минимум в распределении равно соответствующему индексу моды, а число максимумов – на единицу больше. Периферийные максимумы распределения больше центральных. Иной вид имеет распределение интенсивности при центральной симметрии сечения резонатора: ,

Где - полиномы Лагерра; и - соответственно радиальный и угловой индексы моды. Для типов колебаний низших радиальных порядков полиномы Лагерра равны: ;; ;

Нетрудно заметить, что распределение в основной моде при центральной симметрии резонатора также описывается функцией Гаусса и не отличается от случая прямоугольной симметрии. Однако для типов колебания  высших порядков имеет более сложный характер распределения с периодическим чередованием экстремумов.

Масштаб распределения определяется параметром . Величина его равна расстоянию от оси пучка до  точки, где интенсивность излучения уменьшается в раз. Этот параметр называется размером пятна, и он зависит от конфигурации резонатора  и от координаты оси резонатора, где он измеряется.

Пучок имеет сечение, в котором его размер принимает минимальное значение – перетяжку. В резонаторе с одинаковыми зеркалами её положение совпадает с центральным сечением. Если зеркала имеют различную кривизну, то перетяжка отстоит от центрального сечения на некоторое расстояние, которое можно рассчитать по формуле , где ,- параметры конфигурации резонатора. В общем случае перетяжка смещена от центрального сечения в сторону зеркала меньше кривизны. Размер её определяется  параметрами конфигурации резонатора и длиной волны излучения генерации лазера . Размер пятна по обе стороны от перетяжки увеличивается по закону , где - конфокальный параметр резонатора.

Поверхность равной относительной интенсивности излучения представляет собой поверхность гиперболоида вращения, ось которого совпадает с осью резонатора. Линии, образующиеся при осевом сечении этой поверхности плоскостью, называются каустикой пучка. Конфокальный параметр резонатора тогда определяется как высота гиперболоида, поверхность которого образована каустикой пучка, а площадь торцов больше площади сечения перетяжки в два раза. На торцах такого гиперболоида сферический волновой фронт имеет максимальную кривизну, а при удалении от них в обе стороны уменьшается и становится плоским. Изменение радиуса кривизны волнового фронта описывается формулой

Так как размер пятна в области растет линейно с увеличением , это позволяет ввести еще один параметр пучка – угол его расходимости. Его можно определить как угол, под которым асимптота каустики наклонена к оси резонатора, и записать как .

2.  Добротность резонатора и её связь с полосой пропускания.

Универсальным параметром, характеризующим накопительные свойства резонатора, является его добротность. Она определяется как величина, обратно пропорциональная скорости уменьшения энергии поля в резонаторе. Аналитически её выражают в виде отношения запасенной в резонаторе энергии к энергии, теряемой им за один период колебаний Т..

Воспользуемся этим выражением и получим конкретные формулы для добротности резонатора лазера.

Пусть в резонаторе объемом имеет место собственное колебание на частоте . Пусть в начальный момент времени  в этой моде запасена энергия поля , где  - начальная объемная плотность этой энергии. При распространении от зеркала к зеркалу вдоль оси резонатора  данная мода испытывает потери своей энергии.  Обозначив суммарные потери коэффициентом , приведем уравнение баланса энергии  к следующему виду .Перепишем ур-е баланса энергии резонат. так чтобы в нём в явном виде содержалась добротность

Легко видеть, что решение этого уравнения имеет вид . Домножая обе части на объем резонатора , получаем выражение для затухания энергии во времени .

Так как нам известно, изменение энергии резонатора во времени, можно получить выражение для изменения во времени напряженности его поля: . Используя преобразование Фурье можно записать .Функция представляет собой спектральное разложение внутрирезонаторного поля. Вычислим эту функцию, подставив в неё выр-е для

, где

- амплитуда

- закон изменения амплитуды при изменении частоты. График его имеет вид нормированной кривой (рисунок) и лоренцеву форму. Ширина это линий, определенная на полувысоте равна  и называется полосой пропускания резонатора.

Таким образом, чем выше добротность резонатора, чем ниже его потери, тем меньше ширина соответствующей резонансной кривой и тем выше амплитуда поля соответствующей моды. Определение полосы пропускания позволяет получить формулу для нахождения добротности

Билет №16

1.  Добротность лазерного резонатора и её связь с энергией и интенсивностью излучения

Универсальным параметром, характеризующим накопительные свойства резонатора, является его добротность. Она определяется как величина, обратно пропорциональная скорости уменьшения энергии поля в резонаторе. Аналитически её выражают в виде отношения запасенной в резонаторе энергии к энергии, теряемой им за один период колебаний Т.

.

Воспользуемся этим выражением и получим конкретные формулы для добротности резонатора лазера.

Пусть в резонаторе объемом имеет место собственное колебание на частоте . Пусть в начальный момент времени  в этой моде запасена энергия поля , где  - начальная объемная плотность этой энергии. При распространении от зеркала к зеркалу вдоль оси резонатора  данная мода испытывает потери своей энергии.  Обозначив суммарные потери коэффициентом , приведем уравнение баланса энергии  к следующему виду