I. К И Н Е М А Т И К А
1. Кинематика точки
1.1. Векторный способ задания движения точки
J |
Вспомни теорию |
|
Векторы. Многие
физические величины характеризуются одним параметром – модулем этой величины. Например,
известно расстояние, которое проходит пешеход (допустим он прошел 37 км) – при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал. Такие
величины называются скалярными. Бывают обстоятельства, когда необходимо
знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится
в 14 км к востоку от пункта В, то недостаточно направить
пешехода, указав расстояние в 14 км для того, чтобы он достиг пункт В.
Необходимо определить направление движения. Комбинация величины (модуля) и
направления перемещения называется векторной величиной или просто вектором.
Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в
том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для
скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, а для векторных величин – в
векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В вычисляется
сложением
(рис. 1.1, а), а
полное перемещение вычисляется расстоянием между пунктами А и
В, т.е равно
.
Вектор всегда изображается
направленным
отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой
вектором физической величины, а стрелка показывает ее направление (рис. 1.1, б).
Вектор обозначается буквой со стрелкой над ней, например, ускорение
. Точку А называют точкой
приложения вектора, а прямую, вдоль которой направлен вектор, называют линией
действия вектора.
Проекция силы на ось.
Изобразим на плоскости вектор (рис. 1.2). Опустим перпендикуляры из
начала А и конца В вектора на оси
и
, получим отрезки
и
,
называемые проекциями вектора
на оси
и
.
Проекции вектора на прямоугольные оси
и
его модуль и направление
вычисляются по формулам
,
,
.
Проекция вектора на ось является
скалярной величиной, потому что не имеет собственного направления, а
определяется направлением оси (рис. 1.3). Проекция силы будет положительной,
если направление вектора силы составляет с положительным направлением оси
острый угол – , и отрицательной, если
угол тупой –
.
Рис. 1.3
В механике разделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.
Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такие векторы характеризуют физические величины во всем исследуемом пространстве.
Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия.
Закрепленные векторы представляют собой векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют другое значение, либо вообще теряют смысл.
Радиус-вектор. Положение точки в пространстве удобно
характеризовать радиус-вектором .
При изменении
конец
радиус-вектора опишет кривую в пространстве (рис.1.4, а). Эта кривая называется
годографом радиус-вектора и является траекторией движущейся точки.
а |
|
б |
|
Рис. 1.4
Если радиус-вектор разложить по
базисным векторам
,
в
плоской прямоугольной системе координат, то (рис.1.4, б):
,
где являются координатами радиус-вектора
в прямоугольной системе координат.
Модуль радиус-вектора вычисляется
согласно теореме Пифагора: . Направление
радиус-вектора вычисляется по направляющему косинусу:
Уравнение движения точки, заданное векторным способом. Уравнение движения при векторном способе задания движения задается радиус- вектором этой точки:
.
Скорость точки. Мгновенная скорость точки в момент времени
:
(м/с).
Ускорение точки. Ускорение точки в момент времени
:
(м/с2).
Задача 1.1. Движение точки задано радиус-вектором:
(см).
Построить траекторию
движущейся точки и вычислить ее скорость при с.
Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу точек годографа для отдельных значений t.
Таблица 1
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для
любой точки годографа имеем:
,
.
Возведем эти уравнения в
квадрат и, сложив между собой, получим, что при любом tвыполняется
равенство , т.е. все точки годографа лежат на
окружности радиусом 5 см, следовательно, траекторией является окружность
радиусом
см (рис. 1.5).
Вычислим вектор скорости:
.
Ответ: траекторией является окружность радиусом см;
скорость точки .
1.2. Координатный способ задания движения точки
J |
Вспомни теорию |
|
Уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах имеют вид
(1)
Уравнения (1) являются также уравнениями траектории точки, заданными
параметрически. Уравнение траектории в системе координат будет иметь вид функции
рис. 1.6. Для получения этой
зависимости следует из уравнений (1) исключить параметр
.
Скорость точки. Модуль и направление скорости вычисляются так:
,
,
здесь ;
.
Ускорение точки. Модуль и направление ускорения вычисляются так:
,
,
здесь ,
.
Задача 1.2. Движение точки M по плоскости задано уравнениями движения
(см). (а)
Задать движение точки в
явном виде и построить траекторию движущейся
точки.
Решение. Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат
определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и
.
Функции
и
- ограничены, т.е.
,
, получаем (см. рис. 1.7):
Исключим параметр tиз уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:
_______________________
.
Учитывая, что , получим:
. (б)
Траекторией движущейся точки
является эллипс (рис. 1.7). Подставляя в (а) ,
находим:
(см).
Точка в начальный момент
времени занимает положение . Определим
направление движения точки. Уравнения движения заданы возрастающей функцией
и убывающей функцией
, поэтому при увеличении t
координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка
вращается по эллипсу по часовой стрелке.
Задача 1.3. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1.8)
определяется углом (рад). Вычислить
скорость и ускорение точек B и М
в момент
с, если
см,
.
Рис. 1.8
Решение. Декартовую
систему координат совместим с точкой
0 кривошипа 0А (рис. 1.8). Движение каждой точки данного
механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы
отсчета. Положение каждой точки механизма в этой системе координат будет
определяться двумя координатами -
и
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.