I. К И Н Е М А Т И К А
1. Кинематика точки
1.1. Векторный способ задания движения точки
J |
Вспомни теорию |
Векторы. Многие физические величины характеризуются одним параметром – модулем этой величины. Например, известно расстояние, которое проходит пешеход (допустим он прошел 37 км) – при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал. Такие величины называются скалярными. Бывают обстоятельства, когда необходимо знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится в 14 км к востоку от пункта В, то недостаточно направить пешехода, указав расстояние в 14 км для того, чтобы он достиг пункт В. Необходимо определить направление движения. Комбинация величины (модуля) и направления перемещения называется векторной величиной или просто вектором. Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, а для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В вычисляется сложением (рис. 1.1, а), а полное перемещение вычисляется расстоянием между пунктами А и В, т.е равно .
Вектор всегда изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины, а стрелка показывает ее направление (рис. 1.1, б). Вектор обозначается буквой со стрелкой над ней, например, ускорение . Точку А называют точкой приложения вектора, а прямую, вдоль которой направлен вектор, называют линией действия вектора.
Проекция силы на ось. Изобразим на плоскости вектор (рис. 1.2). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси и , получим отрезки и , называемые проекциями вектора на оси и . Проекции вектора на прямоугольные оси и его модуль и направление вычисляются по формулам
, , .
Проекция вектора на ось является скалярной величиной, потому что не имеет собственного направления, а определяется направлением оси (рис. 1.3). Проекция силы будет положительной, если направление вектора силы составляет с положительным направлением оси острый угол – , и отрицательной, если угол тупой – .
Рис. 1.3
В механике разделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.
Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такие векторы характеризуют физические величины во всем исследуемом пространстве.
Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия.
Закрепленные векторы представляют собой векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют другое значение, либо вообще теряют смысл.
Радиус-вектор. Положение точки в пространстве удобно характеризовать радиус-вектором . При изменении конец радиус-вектора опишет кривую в пространстве (рис.1.4, а). Эта кривая называется годографом радиус-вектора и является траекторией движущейся точки.
а |
б |
Рис. 1.4
Если радиус-вектор разложить по базисным векторам , в плоской прямоугольной системе координат, то (рис.1.4, б):
,
где являются координатами радиус-вектора в прямоугольной системе координат.
Модуль радиус-вектора вычисляется согласно теореме Пифагора: . Направление радиус-вектора вычисляется по направляющему косинусу:
Уравнение движения точки, заданное векторным способом. Уравнение движения при векторном способе задания движения задается радиус- вектором этой точки:
.
Скорость точки. Мгновенная скорость точки в момент времени :
(м/с).
Ускорение точки. Ускорение точки в момент времени :
(м/с2).
Задача 1.1. Движение точки задано радиус-вектором:
(см).
Построить траекторию движущейся точки и вычислить ее скорость при с.
Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу точек годографа для отдельных значений t.
Таблица 1
t |
0 |
|||||
Для любой точки годографа имеем:
, .
Возведем эти уравнения в квадрат и, сложив между собой, получим, что при любом tвыполняется равенство , т.е. все точки годографа лежат на окружности радиусом 5 см, следовательно, траекторией является окружность радиусом см (рис. 1.5).
Вычислим вектор скорости:
.
Ответ: траекторией является окружность радиусом см;
скорость точки .
1.2. Координатный способ задания движения точки
J |
Вспомни теорию |
Уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах имеют вид
(1)
Уравнения (1) являются также уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Уравнение траектории в системе координат будет иметь вид функции рис. 1.6. Для получения этой зависимости следует из уравнений (1) исключить параметр .
Скорость точки. Модуль и направление скорости вычисляются так:
, ,
здесь ; .
Ускорение точки. Модуль и направление ускорения вычисляются так:
, ,
здесь , .
Задача 1.2. Движение точки M по плоскости задано уравнениями движения
(см). (а)
Задать движение точки в явном виде и построить траекторию движущейся точки.
Решение. Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и . Функции и - ограничены, т.е. , , получаем (см. рис. 1.7):
Исключим параметр tиз уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:
_______________________
.
Учитывая, что , получим:
. (б)
Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 1.7). Подставляя в (а) , находим:
(см).
Точка в начальный момент времени занимает положение . Определим направление движения точки. Уравнения движения заданы возрастающей функцией и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка вращается по эллипсу по часовой стрелке.
Задача 1.3. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1.8) определяется углом (рад). Вычислить скорость и ускорение точек B и М в момент с, если см, .
Рис. 1.8
Решение. Декартовую систему координат совместим с точкой 0 кривошипа 0А (рис. 1.8). Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы отсчета. Положение каждой точки механизма в этой системе координат будет определяться двумя координатами - и .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.