Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки, страница 7

Задача 3.1. Круглый диск вращается в свой плоскости с постоянной угловой скоростью  с^-1 (направление вращения показано на рис. 3.2 дуговой стрелкой). Ось вращения проходит через центр О. По прямолинейному пазу АС движется ползун В согласно заданному уравнению  (см) (рис. 3.2, а). Расстояние от центра диска до паза  см;  см.

Вычислить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна В в момент, когда он при движении достигнет середины паза.

Решение.

1.  Абсолютная скорость ползуна. Абсолютная скорость ползуна при его сложном движении геометрически складывается из относительной и переносной скоростей:

.

Относительное движение ползуна. Относительным является прямолинейное движение ползуна В по пазу диска, уравнение относительного движения задано:

.

Относительная скорость ползуна:

 (см/с).

а		б
Рис. 3.2

В рассматриваемый момент времени ползун находится в середине паза, следовательно,  см. Вычислим время, которое соответствует этому положению ползуна, затем модуль относительной скорости в этот момент:

 (см)     с;

 (см/с).

На рис.3.2, б откладываем вектор .

Переносное движение ползуна. Движение ползуна, жестко скрепленного с диском в точке  и вращающегося вместе с ним, – переносное движение ползуна. В переносном движении ползун вращается по окружности радиусом  см относительно центра О (рис. 3.2, б). Вводим оси  и . Ось  совпадает с направлением , ось  проходит через центр О. Тогда переносная скорость ползуна В:

 (см/с).

Вектор скорости  направлен по . Таким образом, векторы  и  параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Соприкасающиеся плоскости относительного и переносного движения совпадают. Поэтому абсолютная скорость точки В вычисляется алгебраическим сложением относительной и переносной скорости:

 (см/с).

2.  Абсолютное ускорение ползуна. Абсолютное ускорение ползуна при его сложном движении вычисляется по теореме Кориолиса:

.

Здесь  – относительное ускорение ползуна В:

(см/с²).

Векторы  и  направлены в одну сторону вдоль оси паза, следовательно, относительное движение ползуна ускоренное (рис. 3.3).

Вычислим переносное ускорение ползуна В - :

Здесь

;  (см/с²);

 (см/с²).

Вектор  направлен по  (радиусу переносного вращения) (рис. 3.3).

3. Ускорение Кориолиса. Вектор ускорения Кориолиса равен:

, 

Модуль ускорения:

.

Соприкасающиеся плоскости относительного и переносного движения совпадают, вектор  перпендикулярен  плоскости вращения диска, вектор относительной скорости лежит в плоскости вращения диска, поэтому угол между векторами и равен 90⁰ , тогда:

 (см/с²).

Направление ускорения Кориолиса  определяем по правилу Жуковского: вектор   поворачиваем на    по  направлению дуговой стрелки  (рис. 3.3).

Модуль абсолютного ускорения ползуна определяется:

 (см/с²).

Направление абсолютного ускорения: .

Ответ:   (см/с);    (см/с²).

Задача 3.2. Круглый диск  см вращается в свой плоскости относительно неподвижного центра А по уравнению  (рад). По ободу диска из точки О в указанном направлении движется точка М согласно заданному уравнению  (см) (рис. 3.4, а).

В момент времени  с для точки М требуется вычислить абсолютную скорость, абсолютное ускорение.

а		б
Рис. 3.4

Решение.

1.  Определяем положение точки М на диске при  с.

 (см),

тогда            (рад), или  (рис. 3.4, а).

2.  Абсолютная скорость точки М.

Абсолютная скорость точки при её сложном движении геометрически складывается из относительной и переносной скорости:

.

2.1. Относительное движение. Относительным является движение точки М по ободу диска, тогда уравнение относительного движения задано уравнением: , т.е. относительным движением точки является движение точки по окружности радиусом  м. Относительная скорость:

;

 (м/с).

Проведем анализ движения точки по траектории. При  точка движется от точки (0; 0) по окружности против часовой стрелки до точки , при этом точка проходит путь (рис.3.4, а):

 (см),

тогда   (рад),  или  .

При  с скорость . При  с точка меняет направление движения, т.е. начинает двигаться по окружности по ходу часовой стрелки. Знак модуля  при  с показывает, что точка движется по окружности по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, а). Строим оси  и : ось  проходит через центр диска (точка С), ось  ^ и ось направлена по направлению вектора .

2.2. Переносное движение. Переносное движение точки М – движение точки, жестко скрепленной с диском в заданный момент времени (положение точки М при  с), и вращающейся вместе с ним. Траекторией движения точки будет  окружность радиусом  (рис. 3.4, б).

Справка: из геометрии задачи имеем:  (теорема косинусов): , ;  (м); .

Кинематические параметры переносного движения точки М:

 (с^-1);  (м/с).

Знак  определяет направление вращения диска (против часовой стрелки).

Строим оси  и : ось  проходит через центр вращения диска (точка А), ось  ^  , ось  направлена по дуговой стрелки .

Вектор скорости  направлен по  (рис. 3.5, а).

а		б
Рис. 3.5

Соприкасающиеся плоскости относительного и переносного движений совпадают (ось вращения диска перпендикулярна плоскости рисунка), следовательно,  и  находятся в одной плоскости - .

Абсолютная скорость точки М определяется:

, где

 (см/с);

 (см/с);

 (см/с).

Направление вектора  определим по направляющему косинусу:

.

Вектор  можно определить графически, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и .

3.  Абсолютное ускорение точки М. Абсолютное ускорение точки при ее сложном движении складывается из относительного, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:

,

здесь

 - относительное ускорение;

 - переносное ускорение;

 - ускорение Кориолиса.

3.1. Относительное ускорение точки М:

,

где:    (м/с²);

 (м/с²).