Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки, страница 11

 (см/с²) - касательная составляющая ускорения полюса, направлена перпендикулярно  в сторону углового ускорения кривошипа ОА - ;

 (см/с²) - ускорения точки В при её вращении относительно полюса А; вектор  перпендикулярен АВ и направлен по направлению дуговой стрелки ;

 (см/с²), вектор  направлен по отрезку АВ от точки В к точке А.

Выражение для расчета ускорения точки В записано в векторной форме. Для аналитических вычислений необходимо спроецировать это векторное равенство на две оси координат, тогда теорема примет вид

,   где

 (см/с²);

 (см/с²).

Модуль ускорения точки В вычислим по формуле:

 (см/с²).

Для определения направления вектора полного ускорения точки В строится параллелограмм на его проекциях  и , диагональ этого параллелограмма и будет вектором ускорения точки В (рис. 4.11).

Ответ:    (с^-1),    (с^-2);    (см/с);    (см/с²).

Задача 4.4. В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА длиной

40 см вращается замедленно относительно центра О, с угловой скоростью  с^-1 и угловым ускорением  с^-2 (рис. 4.12), и приводит в движение шатун АВ длиной 80 см.

Рис. 4.12

Вычислить:

1.  скорость и ускорение точки В ползуна;

2.  скорость и ускорение точки С, расположенной на шатуне АВ на расстоянии  см.

Решение. В кривошипно-шатунном механизмекривошип ОА вращается относительно центра О, шатун АВ движется плоскопараллельно, ползун В движется поступательно.

Точка А одновременно принадлежит и кривошипу ОА, и шатуну АВ. Рассматривая вращение кривошипа, скорость точки А рассчитываем по формуле

 (см/с).

Вектор скорости  перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону угловой скорости кривошипа. Вектор скорости точки В шатуна направлен вдоль направляющих ползуна, в данном случае - по горизонтали (рис. 4.12).

Заменим плоское движение шатуна АВ мгновенно-вращательным относительно мгновенного центра скоростей (МЦС). Для нахождения МЦС восстановим перпендикуляры к построенным векторам скоростей  и , на их пересечении будет находиться МЦС шатуна - точка Р (рис. 4.13, а).

а		б
Рис. 4.13

Направление мгновенного вращения шатуна АВ вокруг МЦС -  - определяем по направлению вектора .

Величина угловой скорости шатуна рассчитывается:

,   откуда

,   .

Если положение кривошипно-шатунного механизма фиксировано и начерчено в масштабе, то расстояния ВР и СР измеряются с чертежа линейкой. В общем случае рассматривают геометрию задачи (рис. 4.13, б).

Для вычисления расстояний АР, ВР, СР рассмотрим треугольники ОАВ и ОРВ:

из  по теореме синусов:

  ;

;   ,   .

из  по теореме синусов:

;   ;

 см.

В прямоугольном треугольнике  угол ОРВ равен , поэтому гипотенуза ОР равна удвоенному произведению катета ОВ, лежащего против угла :

 см,   тогда    см.

По теореме Пифагора расстояние ВР:

 см.

Расстояние СР определяется из  по теореме косинусов, с учетом угла :

 см.

Угловая скорость шатуна АВ, скорости точек В и С вычисляют следующим образом:

,

откуда     с^-1;

 (см/с),

 (см/с).

Вектор скорости  перпендикулярен отрезку РС и направлен в сторону мгновенного вращения шатуна  (рис. 4.13, а).

Рассчитываем ускорение точки В ползуна. Принимаем точку А шатуна за полюс, тогда

.                                                    (а)

Здесь (рис. 4.14, а):

 - ускорение полюса А:

    (см/с²) ;

 (см/с²).

 - ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А: 

    (см/с²),

.

Вектор  направлен по шатуну АВ от точки В к точке А; вектор  располагаем перпендикулярно шатуну АВ.

Сводим вектора , , ,  в точку В (рис. 4.14, б).

а	б

Рис. 4.14

Ускорение точки В определяется векторным уравнением:

.                    (б)

Таким образом, получили векторное равенство с двумя неизвестными:  и .

Вычислить  и  можно двумя способами - аналитическим и геометрическим. Рассмотрим каждый из указанных способов.

Аналитический способ. Начало декартовой системы координат совместим с точкой В, ось  с осью ползуна, ось  перпендикулярна оси ползуна (рис. 4.14, б). Вектор ускорения ползуна  направлен вдоль оси , поэтому проекция вектора  на ось  равна нулю:

- из (б) получаем:

, ;

;

   с^-2;

 (см/с²);

 (см/с²).

Здесь  ,  .

Вычислим ускорение точки С. Положительный знак  означает, что выбранное на схеме направление этого вектора совпадает с истинным. Следовательно, угловое ускорение шатуна  направлено против часовой стрелки (рис. 4.15, а).

а	б

Рис. 4.15

Ускорение точки С:

,   где

 (см/с²),

 (см/с²).

Спроецируем записанное векторное равенство на оси  и Сy

(рис. 4.14, б):

 (см/с²);

 (см/с²).

Модуль ускорения точки С:

 (см/с²).

Геометрический (графический) способ

Рис. 4.16

Ускорение ползуна В можно получить построением многоугольника ускорений (рис. 4.16). Для этого в принятом масштабе откладываем из точки В ускорение , далее, перпендикулярно ему, откладываем касательную составляющую ускорения полюса , под углом  к горизонту откладываем ускорение , из его конца проводим пунктирную прямую, перпендикулярную  (параллельную неизвестному ускорению ) до пересечения с осью , по которой направлен вектор ускорения ползуна В. Точка пересечения пунктирной прямой и осью  определяет вектора  и . Вектор  замыкает многоугольник (рис. 4.16).

Измеряем длины этих векторов и с учетом масштаба получаем соответственно:

 (см/с²),    (см/с²).

Для вычисления ускорения точки С – середины шатуна АВ – соединим концы ускорений точек А и В (рис. 4.16) отрезком , разделим его пополам точкой  и, соединив точки С и , получим вектор ускорения середины шатуна . Замерив его с учетом масштаба, получим  (см/с²).

Ответ:    с^-1,  с^-2;  (см/с),   (см/с);

 (см/с²),  (см/с²).

Задача 4.5. Вычислить аналитически и графически ускорение шарнира В В шарнирного параллелограмма в его данном положении (рис. 4.17 а), если кривошип  см вращается равномерно относительно центра О с угловой скоростью  с^-1; длины звеньев  см,  см.