Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки, страница 3

Скорость точки. Вектор скорости направлен по оси и вычисляется:

Ускорение точки. Вектор ускорения раскладывается на два вектора и (рис. 1.14):

Здесь: вектор – определяет касательную составляющую ускорения . Модуль касательного ускорения показывает изменение модуля скорости. Вектор при направлен в сторону вектора (ускоренное движение) (рис. 1.14, а), а при – против вектора (замедленное движение) (рис. 1.14, б);

§ вектор ( – радиус кривизны траектории) – определяет нормальную составляющую ускорения. Модуль нормального ускорения определяет изменение направления вектора скорости . При прямолинейном движении =, , вектор при движении не меняет направление. При криволинейном движении точки нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории вдоль оси , рис. 1.14.

Учитывая ортогональность и , имеем:

, .

Рис. 1.14

Связь координатного и естественного способов заданий движения точки. Уравнение движения в естественной форме связано с уравнениями движения в координатной форме соотношением:

Здесь , .

Тогда

;

Радиус кривизны может быть вычислен через модуль скорости и модуль нормального ускорения: .

Задача 1.7. Движение точки М задано уравнением:

(м). (а)

Вычислить путь , пройденный точкой М за 10 с.

Решение. Путь, пройденный точкой, вычислим по интегральной зависимости:

Согласно уравнению движения (а), имеем:

При с точка М меняет свое направление, поэтому путь , пройденный точкой за 10 с, будет вычисляться так:

(м).

Ответ: (м).

Задача 1.8. Движение точки в плоскости задано координатным способом уравнениями , :

	(а)
	(б)

где и выражены в см, - в с.

Требуется задать движение точки в явном виде, вычислитьскорость, нормальную и касательную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке для момента времени с.

Решение. Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений и . Функции и - ограничены, тогда область значений и определяетя неравенствами:

; .

Получим зависимость . Для этого из (а)-(б) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) и (б) перепишутся в виде

Распишем первое уравнение полученной системы, используя формулу двойного угла (), приведем подобные члены и выразим через :

Итак, координаты связаны между собой зависимотью

Анализируем траекторию движения точки. Траекторией точки является парабола с координатой вершины , ветви параболы вытянуты вдоль оси слева от вершины (рис. 1.15, а).

а		б		в
Рис. 1.15

При функцияубывает, а - возрастает (рис.1.15, а), следовательно, точка из положения начинает движение по верхней ветви параболы до точки , далее точка движется обратно по верхней ветви траектории и через точку с координатами движется по нижней ветви параболы до точки и т.д.

В целом точка М совершает колебательные движения по построенной параболе в ограниченной пунктиром области. Направление движения в первые 2 с указано стрелкой на рис. 1.15, а.

Вычислим положение точки на траектории при с:

(см);

(см).

2. Вычислим скорость точки при с.

(см/с);

(см/с).

Значения и отложим в масштабе на графике, рис. 1.15, б. Вектор скорости точки является диагональю параллелограмма, достроенного на этих векторах и определяет направление движения точки, а также определяет направление и положение касательной оси.

Вычислим ускорение точки при с:

(см/с²);

(см/с²).

Вектор ускорения точки – - получаем построением параллелограмма на проекциях ускорений и в выбранном масштабе, рис. 1.15, в. Как видно из рис., вектор полного ускорения точки направлен внутрь вогнутости траектории движения точки.

Касательная и нормальная составляющие ускорения точки. При координатном способе задания движения указанные составляющие ускорения рассчитываются по формулам

(см/с²);

(см/с²).

Касательное и нормальное ускорения точки можно вычислить геометрически. Для этого в точке необходимо построить оси естественного трехгранника и . Положение и направление оси определили ранее - по построенному вектору скорости точки . Перпендикулярно этой оси, в Подпись:
Рис. 1.16 сторону вогнутости траектории, проведём главную нормаль (полуось). Отложим в масштабе проекции и и построим вектор (рис. 1.16).

Проекция вектора ускорения на ось будет соответствовать касательной составляющей ускорения . Измеряя длину указанного вектора и умножая на масштаб, получим значение , в данном случае (см/с²). Вектор совпадает по направлению с вектором скорости точки , следовательно, движение точки по параболе в данный момент времени – ускоренное.

Соответственно проекция на ось будет определять нормальное ускорение . Измеряя длину полученной проекции и умножая на масштаб, получим значение , в данном случае (см/с²).

Получено достаточно хорошее соответствие значений и , рассчитанных разными способами.

Радиус кривизны траектории.

Вычисим радиус кривизны траектории. Имеем

откуда: (см).

Вычислим уравнение движения точки, заданном естественном способом задания - .

Имеем:

Получили уравнение движения точки, заданное естественным способом в интегральном виде.

Ответ: уравнение траектории точки в явном виде ; скорость точки (см/с); ускорения точки (см/с²), (см/с²), (см/с²); радиус кривизны траектории см; .