Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки, страница 2

1. Точка В. Точка движется прямолинейно вдоль оси . Следовательно, в любой момент времени координата , и движение этой точки будет определяться только координатой  (рис. 1.9).

Имеем:

, тогда координата .

Рис. 1.9

Скорость точки В:

 см/с;

Справка:    радиан; 1 радиан .

Ускорение точки В:

 см/с².

Знаки производных: , , следовательно, точка В движется замедленно (рис. 1.9).

2. Точка М. Координаты точки М (рис. 1.9):

;

Скорость точки М для  с:

 (см/c);

 (см/c);

 (см/c).

Ускорение точки М для  с:

 (см/c²);

 (см/c²);

 (см/c²).

Знаки , , следовательно, точка М вдоль оси  движется замедленно; , , следовательно, точка М вдоль оси  движется ускоренно.

Ответ:  см/c;  см/c²;  см/c;  см/c².

Задача 1.4. Точка движется в плоскости . Уравнение движения точки задано координатным способом:

, где  и  выражены в см,  - в с. (а)

Требуется:

1.  Построить траекторию движения точки в декартовой системе координат.

2.  Вычислить положение точки в начальный момент времени , направление движения точки по траектории и положение точки на траектории при  с.

3.  Вычислить  вектор  скорости  .

4.   Вычислить вектор ускорения  точки при  с.

Решение. 1. Построим траекторию движения точки. Для этого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений  и . Функции  и  - ограничены, т.е. , , получаем (см. рис. 1.10):

;   .

, если , тогда ,

, если , тогда ,

Получим зависимость . Для этого из уравнений (а) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) перепишутся в виде

                                                  (б)

Распишем первое уравнение системы (б), используя формулу двойного угла (), приведем подобные члены и выразим  через :

,

или

.                                                   (с)

Анализируем траекторию движения точки. Траекторией точки является парабола с координатой вершины (-1, 0); ветви параболы вытянуты вдоль оси  (рис. 1.10).

При  функции  и  возрастают (рис. 1.10), поэтому точка М из положения  начинает движение по верхней ветви параболы до положения ; далее точка движется обратно по верхней ветви траектории, через точку с координатами  продолжает движение по нижней ветви параболы до положения , далее движется обратно и т.д. Точка совершает колебательные движения по параболе.

Рис. 1.10

2. Вычислим координаты точки для фиксированного времени. Для этого подставим значение  в (а) и вычислим соответствующую координату:

при :    (см);

;

при  с:   (см);

 (см).

3.  Вычислим скорость точки М для  с.

 (см/c);

 (см/c);

 см/с;

,   .

Откладываем проекции скорости  на графике (рис. 1.11).

Рис. 1.11

4.Вычислим ускорение  точки М для  с:

 (см/c²);

 (см/c²);

 (см/c²);

,  

Откладываем проекции ускорения на графике (рис. 1.11).

Ответ:

·  траектория точки парабола ;

·  положение точки на траектории определяется координатами , ;

·  скорость точки  см/c;   ускорение точки    см/c².

· 

J

Вспомни теорию

Прямая задача - по заданному уравнению движения  требуется вычислить скорость и ускорение точки:

.

Если  и  имеют один знак, то вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторону, тогда движение будет ускоренным; если в противоположные – замедленным.

Задача 1.5. Прямолинейное движение точки М задано уравнением .  Вычислить  скорость и ускорение точки М в момент времени  с.

Решение. Траекторией  движения точки является отрезок на прямой  (м) (рис. 1.12). Точка начинает движение вправо из координаты  () до координаты  , далее вектор скорости меняет направление, и точка движется влево до координаты   и т.д. В момент времени  с  точка М имеет координату

 м.

Имеем:   (м/с);

 (м/с²).

Рис. 1.12

Знаки производных определяют направление векторов  и , поэтому точка в этот момент времени движется замедленно, вектор скорости и вектор ускорения направлены по оси в противоположные стороны (рис. 1.12).

Ответ:  (м/с);    (м/с²).

J

Вспомни теорию

Обратная задача - задано ускорение движущейся точки  и требуется вычислить скорость точки и уравнение движения точки :

.

Ускорение точки связано со скоростью, скорость с координатой дифференциальными уравнениями:

,   .                                                      (2)

При решении дифференциальных уравнений (2) разделяют переменные

                                                  (3)

и интегрируют (3) с учетом начальных условий задачи, т.е. значений координаты и скорости в начальный момент времени:

   

     .

При интегрировании уравнений (3) нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуют значению интегрируемых величин при текущем времени t.

Задача 1.6. Точка движется вдоль оси  с ускорением . В начальный момент времени () ,  м/c. Вычислить скорость точки через  с.

Решение.  Ускорение и скорость точки связаны между собой

дифференциальным уравнением с разделенными переменными

.                                                                 (а)

Начальные условия задачи:  (м/c).

Подставив значение ускорения в (а), получим:

Взяв от обеих частей равенства определенный интеграл с учетом начальных условий задачи, получим величину скорости точки через  с:

  

   (м/с).

Ответ: (м/с).

1.3. Естественный способ задания движения точки

J

Вспомни теорию

При естественном способе задания движения точки известно (рис. 1.13):

·  траектория точки;

·  начало и направление движения, т.е. направление увеличения дуговой координаты;

·  уравнение движения  где S – дуговая координата.

Скорость и ускорение точки. При естественном способе задания движения точки в плоскости применяют оси естественного трехгранника , , которые жестко связываются с точкой М и движутся вместе с ней. Плоскость ,  называется соприкасающейся плоскостью.