Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки

I.  К И Н Е М А Т И К А

1. Кинематика точки

1.1. Векторный способ задания движения точки

Векторы. Многие физические величины характеризуются одним параметром – модулем этой величины. Например, известно расстояние, которое проходит пешеход (допустим он прошел 37 км) – при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал. Такие величины называются скалярными. Бывают обстоятельства, когда необходимо знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится в 14 км к востоку от пункта В, то недостаточно направить пешехода, указав расстояние в 14 км для того, чтобы он достиг пункт В. Необходимо определить направление движения. Комбинация величины (модуля) и направления перемещения называется векторной величиной или просто вектором. Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, а для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В вычисляется сложением  (рис. 1.1, а), а полное перемещение вычисляется расстоянием между пунктами А и В, т.е равно .

Вектор всегда изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины, а стрелка показывает ее направление (рис. 1.1, б). Вектор обозначается буквой со стрелкой над ней, например, ускорение . Точку А называют точкой приложения вектора, а прямую, вдоль которой направлен вектор, называют линией действия вектора.

Проекция силы на ось. Изобразим на плоскости вектор  (рис. 1.2). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси  и , получим отрезки  и , называемые проекциями вектора  на оси  и . Проекции вектора  на прямоугольные оси  и  его модуль и направление вычисляются по формулам

, ,  .

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, потому что не имеет собственного направления, а определяется направлением оси (рис. 1.3). Проекция силы будет положительной, если направление вектора силы составляет с положительным направлением оси острый угол – , и отрицательной, если угол тупой – .

Рис. 1.3

В механике разделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.

Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такие векторы характеризуют физические величины во всем исследуемом пространстве.

Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия.

Закрепленные векторы представляют собой векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют другое значение, либо вообще теряют смысл.

Радиус-вектор. Положение точки в пространстве удобно характеризовать радиус-вектором . При изменении конец радиус-вектора опишет кривую в пространстве (рис.1.4, а). Эта кривая называется годографом радиус-вектора и является траекторией движущейся точки.

Рис. 1.4

Если радиус-вектор  разложить по базисным векторам ,  в плоской прямоугольной системе координат, то (рис.1.4, б):

,

где являются координатами радиус-вектора в прямоугольной системе координат.

Модуль радиус-вектора вычисляется согласно теореме Пифагора: . Направление радиус-вектора вычисляется по направляющему косинусу:

Уравнение движения точки, заданное векторным способом. Уравнение движения при векторном способе задания движения задается радиус- вектором  этой точки:

.

Скорость точки. Мгновенная скорость точки  в момент времени :

 (м/с).

Ускорение точки. Ускорение точки  в момент времени :

 (м/с²).

Задача 1.1. Движение точки задано радиус-вектором:

 (см).

Построить траекторию движущейся точки и вычислить ее скорость при  с.

Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу точек годографа для отдельных значений t.

Таблица 1

Для любой точки годографа имеем:

, .

Возведем эти уравнения в квадрат и, сложив между собой, получим, что при любом tвыполняется равенство , т.е.  все точки годографа лежат на окружности радиусом 5 см, следовательно, траекторией является окружность радиусом  см (рис. 1.5).

Вычислим вектор скорости:

.

Ответ: траекторией является окружность радиусом  см;

скорость точки .

1.2. Координатный способ задания движения точки

Уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах имеют вид

                          (1)

Уравнения (1) являются также уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Уравнение  траектории  в  системе  координат   будет иметь вид функции  рис. 1.6. Для получения этой зависимости следует из уравнений (1) исключить параметр .

Скорость точки. Модуль и направление скорости вычисляются так:

,    ,

здесь ; .

Ускорение точки. Модуль и направление ускорения вычисляются так:

,    ,

здесь , .

Задача 1.2. Движение точки M по плоскости  задано уравнениями движения

 (см).                                      (а)

Задать движение точки в явном виде  и построить траекторию движущейся точки.

Решение. Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений  и . Функции  и  - ограничены, т.е. , , получаем (см. рис. 1.7):

Исключим параметр tиз уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:

_______________________

.

Учитывая, что , получим:

.                                                    (б)

Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 1.7). Подставляя в (а) , находим:

 (см).

Точка в начальный момент времени занимает положение . Определим направление движения точки. Уравнения движения заданы возрастающей функцией  и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка вращается по эллипсу по часовой стрелке.

Задача 1.3. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1.8) определяется углом  (рад). Вычислить скорость и ускорение точек B и М в момент  с, если  см, .

Рис. 1.8

Решение. Декартовую систему координат совместим с точкой 0 кривошипа 0А (рис. 1.8). Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы отсчета. Положение каждой точки механизма в этой системе координат будет определяться двумя координатами -  и .