Магнитометрические преобразователи, приборы, установки, страница 2

Поскольку силовой и электромагнитный эффекты, наблюдаемые в намагничиваемых средах, оказываются пропорциональными век­тору В, то измеряемой, точнее преобразуемой в результате проявле­ния указанных эффектов величиной следует считать вектор В, а вне намагничиваемых сред вектор В₀, а не Н. Измерительные преобра­зователи или приборы можно при этом отградуировать в одних и тех же единицах независимо от того, в каких средах (намагничивае­мых или ненамагничиваемых) будут производиться измерения.

1-2. Уравнения Максвелла. Пространственные и временные характеристики магнитного поля

Экспериментально установленные законы электромагнетизма были обобщены Максвеллом, который получил уравнения, справед­ливые для неподвижных сред:

rot H = j+,                                                            (1-2)

rot E = -,                                                                                         (1-3)

div B = 0,                                                                                                                                                                  (1-4)

div D = ρ.                                                                                                                                                              (1-5)

Здесь D — электрическая индукция; j — плотность тока проводи­мости и переноса; ρ — плотность электрических зарядов.

Интегрируя уравнения (1-2) и (1-3) по поверхности и используя теорему Стокса, можно получить закон электромагнитной индукции и закон полного тока. Из уравнения (1-3) имеем:

.

Аналогично из (1-2):  = = l_∑где l_∑ - суммарный ток, складывающийся из токов проводимости, переноса и тока сме­щения; е — электродвижущая сила.

Для стационарного случая, когда dD/dt =0, т. е. для случая постоянных токов: rot Н = j, div В = 0.

Решение этих уравнений, как правило, сопряжено со значитель­ными трудностями. Поэтому часто в целях упрощения расчетов вво­дится вспомогательная векторная функция А, называемая векторным потенциалом и определяемая из условия rot А = Н.

Наложение этого условия оказывается возможным, поскольку дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю, т. е. всегда справедливо (1-4). Из множества векторных функций, удовле­творяющих уравнению rot А = Н, выбирается такая функция, для которой выполняется равенство div А = 0. Тогда в случае изотроп­ных сред (при  = const) получим ∆А = j, где ∆ = ²;

= х⁰  – оператор Гамильтона. Решение последнего уравнения имеет вид:

A = ,

где r — расстояние от элемента объема dυ до точки, в которой вы­числяется вектор Н.

Применив к вектору А операцию ротации, т.е. дифференциро­вания по координатам точек, в которых вычисляется вектор вектор­ного потенциала А, найдем

H = ,

Полученное выражение представляет собой еще одну форму записи закона Био—Савара.

В пространстве, где нет токов, rot Н = 0. В этом случае оказы­вается удобным ввести некоторую вспомогательную функцию φ_м, называемую магнитным потенциалом и связанную с напряженностью магнитного поля соотношением

Н = -grad φ_м = -φ_м.

Как векторный, так и скалярный (магнитный) потенциалы яв­ляются лишь удобными расчетными величинами и, как правило, не­посредственно не измеряются. Указанными величинами широко поль­зуются, например, при расчете полей, создаваемых катушками в частности служащими для воспроизведения определенных значе­ний магнитной индукции.

Пользуясь декартовой или сферической системой координат, вектор В можно представить в виде В = f (В_х, В_уу В_г) или В = f (ψ, θ, B), где

В_x, В_у, В_z — проекции вектора В на оси декартовой си­стемы координат; ψ, θ — углы, определяющие положение вектора В в сферической системе координат; В — модуль вектора (рис. 1-1, а и б).

В тех случаях, когда направление вектора В при переходе от одной точки к другой остается неизменным или когда можно пренеб­речь изменением направления вектора В, пользуются модулем В. Неоднородность поля в этом случае характеризуется градиентом В = х⁰дВ/дх + у⁰дВ/ду + z⁰дВ/дг. Здесь х⁰, у⁰, z⁰ — орты декартовой системы координат; дВ/дх, дВ/ду, дВ/дz — проекции вектора В на соот­ветствующие оси.

По аналогии с линиями магнитной индукции и напряженности поля можно пользоваться также и линиями градиента модуля магнитной индукции. Эти линии всегда направлены в сторону источника поля, намагниченного тела или контура с током (рис. 1-2).

Если изменением направления вектора В при переходе от одной точки к другой пренебречь нельзя, то неоднородность поля по задан­ному i-му направлению характеризуется величиной

∂B/∂i =.                             (1 -6)

В свою очередь, величины дB/дх, дВ/ду, дВ/дz могут быть пред­ставлены в виде:

либо в виде:

где  и В⁰ — орты сферической системы координат (рис. 1-1, б).

Из выражений (1-6)—(1-8) следует, что для определения ∂B/∂i необходимо задать девять величин. Другими словами, неоднород­ность поля вектора В в i-м направлении выражается через некий тензор. Указанные девять величин, характеризующие неоднород­ность вектора В, несут большую информацию о поле, чем три вели­чины, характеризующие градиент модуля В. Это наглядно видно из уравнений (1-8), где величины дВ/дх, дВ/ду и dB/dz, определяющие градиент В, входят лишь в последний столбец системы.

Величины, входящие в уравнения (1-7) и (1-8), являются слагае­мыми дивергенции и ротора.

Определяя производные вектора В по трем направлениям, сов­падающим с ортами выбранной системы координат, мы получаем, таким образом, возможность судить о том, где находится источник магнитного поля (токовая система). Последнее особенно ценно при исследовании процессов в проводящих средах (морской воде, плазме и т. д.). Магнитное поле может изменяться также и во времени.

Вектор-функцию В (t) удобно записать в виде В (t) = В (t) В⁰ (t), где В⁰ (t) — единичная вектор-функция, определяющая в каждый момент времени направление вектора В.

Временная характеристика магнитного поля может обусловли­ваться, следовательно, как изменением модуля В, так и изменением направления В⁰.