Определители. Формула Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, страница 14

Доказательство: Обратная утверждение теоремы неверно. Условие теоремы необходимо, но достаточно.

т. 0 – не точка экстремума.

Пусть функция непрерывна на интервале, содержащем т. , и дифференцируема на нем может быть, кроме т. . Если при переходе слева направо через производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, если наоборот, то минимум.

Пусть т. , такая что , а , то по теореме Лагранжа = .

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть - критическая точка функции , тогда, если то т. максимум, а если то т. минимум.

Если то эта точка как может быть экстремумом, так и не может.

Схема исследования дифференциальной функции с помощью первой производной.

1) Найти производную.

2) Найти критические точки функции.

3) Проверить достаточное условие экстремума в критических точках.

4) Найти экстремальное значение функции.

Пример:

	0
+	0	-	0	+
	0

Наибольшее и наименьшее значения.

Функция непрерывна на отрезке на нем достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Наименьшие и наибольшие значения также достигаются на концах отрезка или в критических точках.

Схема исследования.

1) Находят производную

2) Находят критические точки функции

3) Считают и значение функции в критических точках, из которых выбирают наименьшее и наибольшее.

Пример: при

Выпуклость и вогнутость кривой.

Кривая выпукла на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой, если все точки кривой лежат выше касательных на этой кривой.

Теорема:

1) Если во всех точках интервала вторая производная функции положительная, то кривая на этом интервале вогнутая.

2) Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательная, то кривая на этом интервале выпуклая.

Функция выпукла.

Определение: Точки кривой, отделяющие выпуклость и вогнутость называются точками перегиба.

Теорема: Пусть вторая производная функции в т. = 0 или не существует, если при переходе функции через слева направо знак второй производной меняется на противоположный, то т. является точкой перегиба кривой.