Определители. Формула Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, страница 12

Производная показательно-степенной функции.

Определение: Показательно-степенной функцией называется функция вида , то есть функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от х.

Пример:

Теорема: (формула №19)

Доказательство:

Пример:

Прием дифференцирования применяется для больших производных или дробей.

Пример:

Логарифмируем:

Дифференцируем:

Производная обратной функции.

Замечания: Если непрерывна на отрезке при чем и , то обратная функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема: Если для функции существует функция , которая в т. у имеет производную , отличную от нуля, то в соответствии в т. х функция имеет производную, вычисляемую по формуле:

Теорема: (формула №20)

Доказательство:

Теорема: (формула №21)

Доказательство:

Теорема: (формула №22)

Доказательство:

Теорема: (формула №23)

Пример:

1) Если правостороннее произведение.

2) Если левостороннее произведение.

3) Если , то функция в этой точке не дифференцируема.

Функция дифференцируема на ,

и - одного порядка малости.

2. имеет высший порядок малости.

Таким образом приращение функции состоит из двух слагаемых первого и более высокого порядков малости.

Дифференциалом первого порядка функции называется линейная относительно часть приращение этой функции.

- дифференциал независимой переменной х совпадает с его приращением .

, то есть производную можно рассматривать как

Пример: Вычислить

Пусть и

Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, как и в случае, если было независимой переменной (инвариантность форм дифференциала). Форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Дифференциал функции , соответствующий данным значениям и , равен приращению ординаты касательной к графику функции в т. х.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка.

Производная -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка.

Пример:

Дифференциал функции есть функция от х, причем от х зависит только первый сомножитель.

Второй сомножитель – приращение независимой переменной х.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом.

Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала -го порядка.

Если х является функцией другого аргумента, то последняя формула неверна, то есть второй и последующие дифференциалы свойством инвариантности не обладают. Производная от функции задана параметрически.

Параметрическое задание окружности.

Пусть функция имеет обратную функцию и пусть функции и дифференцируемы по , тогда дифференцируема по х.

(формула №24)

(формула №25)

(формула №26)

Пример:

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Роля: Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах отрезка , то существует, по крайней мере, одна т. С, производная которой обращается в 0.