1)
2)
3)
Пример:
Пример:
Пример:
Теорема №9: Второй замечательный предел.
Доказательство:
Пример:
Сравнение бесконечно малых величин
Пусть БМВ и
стремятся к 0 при
.
Определение: Если
отношение имеет конечный и отличный от 0 предел
, то
и
называются БМВ одного порядка.
Пример: и
При вычислении пределов БМВ можно менять на эквивалентную.
Теорема: Если , а
, то
Пример:
0,
то БМВ
называется БМВ высшего порядка, а
- низшего порядка.
Определение: Если
, то БМВ
называется
БМВ k-того порядка, относительно БМВ
.
при
k = 2.
БМВ и
эквивалентны тогда и только тогда,
когда их разность есть БМВ высшего порядка, чем
и
.
Непрерывность функций.
Определение: Пусть
определена в т.
и
в некоторой окрестности
, если переменная
получает приращение
.
Приращением функции у называется
величина
Определение: Функция
называется непрерывной в т.
, если она определена в некоторой
окрестности т.
и
,
то есть предел непрерывной функции в т.
равен
значению функции в этой точке.
Пример:
Теорема: Все основные элементарные функции непрерывны всюду. Где они определены.
Пример:
Правило: Для непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.
Пусть и
непрерывны
в т.
, тогда
1) ,
каждая непрерывна в т.
2) непрерывна
в т.
3) непрерывна
в т.
4) непрерывна
в т.
и равна
, то
- непрерывна в т.
.
Доказательство: Пусть и
,
то
Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Доказательство теоремы следует из определения элементарной функции и предыдущей теоремы.
Определение: Если
функция непрерывна в каждой точке некоторого
интервала
, то она называется непрерывной на этом
интервале.
Определение:
1) Если в какой –либо
точке функция
не
определена или
или
,
то при
функция разрывна, т.
называется точкой разрыва функции.
2) Если функция такая, что существует конечные пределы
и
, но
или они не равны или не совпадают со значением функции в т.
, то т.
называется
точкой разрыва первого рода.
называется
скачком функции в значении в т.
.
3) Если для функции какой-то из пределом
или
не
существует или не равен
, то т.
называется устранимой точкой разрыва
функции.
4) Если же , то в т.
функция
не определена и т.
называется устранимой точкой
разрыва функции.
Пример:
1)
-
точка разрыва.
-устранимая
точка разрыва.
2)
имеет
разрыв первого рода скачок в нуле = 2
3)
= 1 –
т. разрыва
Некоторые свойства непрерывной функции
Теорема: Если
функция непрерывна на отрезке
, то на отрезке найдется хотя бы одна т.
такая, что для всех точек отрезка
выполнено соотношение
и найдется хотя бы одна т.
такая, что
.
Определение: Значение
называется наибольшим значением функции
на отрезке
, а
-
наименьшим.
Теорема №1: Непрерывная
на отрезке функция достигает наибольшего значения
М и наименьшего значения m.
Отрезок нельзя заменять интервалом, так как теорема может оказаться неверной.
Теорема №2: Пусть
функция непрерывна на отрезке
и на концах отрезка принимает значения
разных знаков, тогда между т. а и т. b найдется, по
крайней мере, одна т. с на которой функция обращается в 0.
Функция соединяет
точки
и
,
причем
пересекает ось хотя бы в одной точке.
Теорема №3: Пусть
функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], если на концах этого отрезка
функция принимает неравные значения, то для любого числа М. заключенного между
чисел a и b найдется такая т.
с, принадлежащая отрезку, что
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.