Определители. Формула Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, страница 11

Всякая прямая , где , пересекает график функции .

Теорема №2 является следствием теоремы №3 при .

Следствие: Если непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшие и наименьшие значения, то на этом интервале она принимает хотя бы один раз любое значение, заключенное между наибольшим и наименьшим значениями.

Производная.

Пусть функция определена на некотором промежутке.

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению , когда .

Производная функции зависит от элементов.

Операция нахождения производной от функции называется дифференцирование.

Физический смыслы производной:

Рассмотрим прямолинейное движение т. , отсчитываемое от начального момента т. .

Пусть во время точка находится в т. , а во время в положении т. . Путь равен . За время путь получил приращение . Отношение называется средней скоростью движения за время . Предел средней скорости называется скоростью движения точки в данный момент.

Геометрический смысл производной:

Определение: Если при неограниченном приближении т. по кривой в т. с любой стороны секущая стремиться занять положение, определенное прямой , называемой касательной к кривой в т. .

- угол образования секущей, движущейся в направлении линии

Прямая, проходящая через т. и составляет , будет искомой касательной.

Производная в каждой точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Прямая, проходящая через т. перпендикулярна касательной в этой точке называется нормалью.

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

Пример: Составить уравнение касательной и нормали кривой в т. =1.

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

Дифференцируемость функции.

Определение: Если функция имеет производную в т. , то она называется дифференцируемой в т. .

Определение: Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой на интервале.

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой т. , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство: по теореме о пределах

функция непрерывна.

Замечания:

1) В точке разрыва у функции нет производной.

2) Обратное утверждение неверно – из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Пример:

При функция непрерывна, но не дифференцируема.

, тогда

Пусть

Дифференцируемость непрерывность.

Непрерывность недифференцируемость.

Непрерывность дифференцируемость.

Схема нахождения производной.

1) Даем аргументу приращение и вычисляем .

2) Находим

3) Составляем отношение

4) Считаем

Формулы с производной:

10)

Теорема: Производная логарифмической функции (формула №11).

Доказательство:

(формула №12).

Теорема: Производная показательной функции (формула №13).

Доказательство:

Следствия: Производная от сложной функции , где , называется внешней функцией, - промежуточной.

Теорема: а) Если функции имеет в некоторой т. х производную . А функция имеет при соответствующих значениях производную (формула №14).

б) Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на произведение промежуточного аргумента по х.

Доказательство: Приращение соответствует приращению , который соответствует приращению :