Построение и преобразование структурных схем, описывающих систему управления. Дифференциальные и алгебраические уравнения, страница 5

М_ст(*)=М_ст.м*sign(wотн), или m_ст(wотн)

*- переменная, от которой изменяется Мст.

w- угловая скорость или частота вращения [1/сек]

v- скорость поступ. перемещения

·  a - угол поворота

e - угловое ускорение

Для поступ. движения x(y)- путь, а- ускорение

q = ag - ao  - уравнение ошибки, ag –задающий или командный угол, ao- угол отработки

q (рад.,т.д.)                         U1 (В)                          К2(В/рад=мВ/т.д.)

f(*)- функции, чаще нелинейные, f7- коэф. эквивалентного вязкого трения

Мы используем символическую форму записи:

D=d/dt – оператор дифференцирования, р=d/dt – оператор интегрирования.

Рассмотрим 1 вид операторов преобразования, дробно-рациональные:

Числитель – это полином: a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀

Оператор позволяет произвести дифференцирование n раз. Применяется запись:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)a_д

В знаменателе: (отличие по коэффициентам)

b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀

m и n – любые. Возможен случай m >= n

Передаточные функции

W(p) - разомкнутая передаточная функция

Ошибка графически изображается сумматором:

                                                W(p) = a₀/q

Общий вид структурной схемы замкнутой системы:

Ф(p) - передаточная функция в замкнутом состоянии

q = a_д - a₀  Þ  a_д = q + a₀

F(p) = a₀/a_д =a₀/(q+a₀) =(a₀/q)/(1+a₀/q) = W(p)/(1+W(p))

F_q(p) = q/a_д = 1/(1+W(p)) Þ   q = a_д/(1+W(p))

Передаточная функция – это отношение выходного сигнала к входному.

Воздействие на входной сигнал выражением, совпадающим с передаточной функцией получается выходной сигнал – это воздействие оператора.

Оператор вида К₂ (дробно-рациональный оператор), где все коэффициенты кроме а₀ и b₀ равны 0.

a₀ = K₆/(T₆p + 1)

b₁ = T₆, все остальные коэффициенты =0.

Если в любой передаточной функции замкнутой системы подставить дробно-рациональное выражение передаточной функции разомкнутой системы, привести эту функцию к дробно-рациональному выражению, привести все подобные, то знаменатель такой передаточной функции называется характеристическим полиномом.

Если характеристический полином приравнять к 0, то можно получить характеристическое уравнение. В общем виде может быть записано:

1 + W(p) = 0

W(p) = k/(T_мТ_яр³ + Т_мр² + р)

k = k₂k₃k₄k₅k_двk₉

k_дв = 1/k₈

1 + k/( T_мТ_яр³ + Т_мр² + р) = 0

T_мТ_яр³ + Т_мр² + р +k = 0         -характеристическое уравнение.

Чаще всего характер движения ДСУ описывается системой дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение показывает, как изменяется переменная соответствующей производной в зависимости от правой части.

Чтобы найти закон движения надо найти интеграл, т.е. решить это уравнение.

Та же задача интегрирования решается с помощью передаточной функции.

X = W(p) u                 ,    X =

Tpx + x = ku

Tpx = -x + ku

px=

Система замыкается, чтобы система была достаточно устойчива.

Надо минимизировать q

   - коэффициент усиления системы

a_{0 уст}  -  a₀ установившееся

Увеличение К приводит к уменьшению q, но до определенного момента, т.к. может оказаться, что a₀ > a_д и q отрицательное (эффект развала системы). Система неустойчива.

Величина коэффициента усиления влияет на величину ошибки и на устойчивость системы.

Чтобы система была устойчива можно воспользоваться направленным изменением коэффициента характеристического уравнения.

Общий вид решения дифференциального уравнения:

I – порядок системы

l_i - корни характеристического уравнения

C_i -  постоянная интегрирования (из начальных условий)

Дифференциальное уравнение – сумма взвешенных экспонент т.к. e > 1: Если вещественные части корней отрицательные, то х (t) ® 0 с течением времени, если положительные, то то х (t) ® ¥ и система неустойчива.

Корни характеристического уравнения в общем виде:

l_{i, i+1}=           a_i                                   +-                       jb_i