Построение и преобразование структурных схем, описывающих систему управления. Дифференциальные и алгебраические уравнения, страница 12

Для того чтобы перейти от структурной схемы к уравнениям состояний, 1-е уравнения, которые имеют операторы дифференцирования надо разрешить относительно старшей производной; если это уравнение более чем первого порядка (решенное) то это приведет к записи в форме Каши, в виде стольких уравнений, каков его порядок.

 

aд                q

 

         a0

Порядок диф. уравнений равен порядку знаменателя =3-й порядок, должны получить 3 уравнения (в форме Каши).

1). q = aд - a0     уравнение ошибки

2).     - передаточную функцию ( ) мы будем использовать так чтобы получить 1-ую производную.

Преобразуем:

     - запишем в виде диф. уравнения:

(*)

введем новые переменные  (1)    (2)

запишем уравнение (*) с учетом этих переменных:

  подставим q = aд - a0

Разрешив это уравнение относительно 1-й производной, – решим задачу

 (3)

Получили уравнение 3-го порядка, имеем переменные X3,X2, a0  и aд – внешняя переменная (входной сигнал).

Как изменилась матрица А в этом случае:

X1=ao

Имеем   X2=pao

X3=pX2

Уравнение состояний:

     aд; 

b₃₃

Если передаточная функция W(p) представлена выражением :

  -  общий вид ;

(в нашем (частном ) случае :   ; ; ;)

то уравнение можно записать :

Дополним это уравнение состояния уравнением выхода :

вектор   строка        X- вектор столбец ; d-коэффициент при входном воздействии.

Цифра 1 в вектор строке должна стоять на том месте, где находится переменная интересующая нас.

Для того чтобы найти значения b1,b2…..bn необходимо и достаточно решить уравнение :

09.04.99

x=Ax

x(t)=SUie^{lt(.(sin(bit)+cos(bit)}

l_j,i+1=aj±bi

рис.1

рис.2

рис.3

подача на входа 1 радиан рис.4

заменим участок синусоиды на прямую рис.5

в Simulink работаем с прямой прикладывать W_н и М_н и смотреть какое напряжение на двигателе (U_н^’) надо устанавливать рис.6

в Simulink можно взять статическую характеристику двигателя (saturation) зона насыщения рис.7

x₂₀ при Х1>X10

x₂=     k  при  ½x1½<10

-x20 при x1<-x10

Надо найти такую комбинацию зон насыщения для (U_н,W_н,М_н), то есть найти a_д, гарантирующую q_max , обеспечивающее всю работу q_max в зоне линейности.

Реальная ДСУ всегда описывается

j(P_x,X,U,t)=0  x(t₀)=x₀

Общее нелинейное ДСУ с начальными параметрами

X,pX,X₀ (принадлежат)  ÎR^s

Векторы-столбцы одномерного Риманого пространства размерности S, это такие пространства, которые описывают математическое соотношение с использованием свойства ортогональности

Нулевые риманого пространства – точки

Одномерные – линии

Двухмерные – плоскость

Трехмерные – объем

Суммы квадратов проекций вектора в римановом пространстве всегда равняется длине этого вектора

UÎR^q

t – время (аргумент)

j(x) ÎR^s

x1

x2

x=   …..

xs

j1(*)

j2(*)

j(*)=  …….

js(*)

px=y(x,u,t)      x(t₀)=x₀

y(*)ÎR^s

(D)

если нам это удалось материализовать, то получаем рх=Ах+Вu      x(t₀)=x₀

чтобы так преобразовать, будем сталкиваться со статическими характеристиками, имеющими следующий вид рис.8

рис.9

Статическая характеристика (D) матричного уравнения

0=y(x,u,t) – уравнение характеристики

U=const, то есть если все составляющие этого вектора

15.04.99

Математическая модель несёт в себе  информацию о функционировании ДСУ. Мат. модель в этом смысле аналогична чертёжно-технической документации технических и машинных динамических систем. Мат. модель можно подвергнуть операции декомпозиции.

Операция декомпозиции – это разбиение сложных мат. моделей на отдельные подмодели, которые можно использовать самостоятельно.

D(x)=A(м)х+В(м)u, где х(t_o)=х_о

D_х,х,хoÎR^s

левая часть – вектор внутренних переменных (переменные состояний, фазовые координаты), который возникает в результате внутренней структуры этого канала, квадратичной матрицы А(м)ÎR^s*s  и за счёт внешних воздействий (2-ая часть правой части).

UÎR^Q – вектор размерности, который может состоять из двух частей: