Построение и преобразование структурных схем, описывающих систему управления. Дифференциальные и алгебраические уравнения, страница 15

на основании этого неравенства мы можем оценить качество функционирования нашей системы.

Этот вектор выступает в виде:

·  заданных значений

J^з, которые могут состоять из:

J^гр – область, где эффективно работает наша система,

J^пр – определяет безаварийную ситуацию.

Введем заданное значение в виде:

определяет разницу между заданным математическим ожиданием и математическим ожиданием для всей гаммы таких ФЗ для каждой системы М-штук.

Для исполнения (*) для оценки качества

1. 

надо вместо Z писать J, вместо ε_σ взять D_Jm, mЄ(1,M)

2.  n —> ∞ => вместо скобки получим е.

самой высокой качественной системой будет та система, у которой самое большое значение вероятности max P = 1, в том случае, когда е˚ =>

система не стахостична (не имеет случайных параметров).

P_FJm – вероятность безопасного (или безотказного?) функционирования по показателю Jm.

-  безопасность (безотказность) функционирования.

когда в D_Jm   J³_m = J^пр или J³_m = J^гр

J п/р:

надо решить уравнение относительно σ_х², для этого можно решить:

Проблема: σ² : при х=0, σ_х0²=0, следовательно мы не можем получить стахо.

! Решать надо другое уравнение:

2. DГ_х² = Г_х²;             Г_х²(t₀) = Г_х0²

Г² – второй начальный момент из 1. Dm_x получим m_{x установившееся}

из 2. Г_х² получим Г_{х уст.}².

Осреднение простого уравнения:

х,    Т. к. решением этого дифференциального равнения:

т.к. операция осреднения  - линейная операция, следовательно, порядок их может быть изменен:

вынесем m_x  за скобку.

Контрольный вопрос:           Чему равняется ?

29.04.99

Если в первом уравнении  задать некоторой неизвестной функцией времени, например 1(t), то из решения системы 15-ти уравнений можно определить функции времени для всех переменных.

                (*)

Зная, что   , получаем:

                                                         

            

Это коэффициент при переменной для ур-я  (*)

 - это функция от времени, следовательно это уравнение потеряло стационарность.

Исходное уравнение, которое мы осредняли имело вид:  - это дифф-е уравнение 1-го порядка стационарно-стахостическое (не зависит от времени, след-но стационарние. И оно носит случайный характер, т.к. характеризуется   и  , а след-но оно стахостическое)

На рисунке   имеет равномерный закон распределения

РИС. “РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ”

            

       , т.к.          - основной закон теории вероятностей.

Из этого закона следует, что мат. ожидание  и дисперсия для равномерного закона имеют вид:

         ;     

Коэффициент передачи  является функцией времени, следовательно в результате осреднения исходного стационарного уравнения  относительно мат. ожидания  исходное уравнение потеряло свойство стационарности, т.к. его коэффициент передачи стал зависеть от времени. Чтоб это уравнение было устойчивым необходимо и достаточно чтоб форма его решения была:

  , при    

- случайный параметр (должно выполняться условие , тогда  уравнение станет устойчивым.

Если закон распределения нормальный (величина  отвечает нормальному закону распределения), то для всех значений от 0 до  мат. ожидание  ( нечетные значения) и

 ( четные значения)

При этом , а для всех =1,2…,

При нормальном законе распределения . Следовательно, ,

при .

Если исходное уравнение устойчиво, то для того чтобы осредненное уравнение тоже было устойчиво в момент времени  t = 0   необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие  при   t = 0

Если   t = T , и след-но   , то   .  (при этом осредненное уравнение теряет свою устойчивость)

Реальные, правильно спроектированные, системы малочувствительны к изменению случайных параметров, т.е.

Время переходного процесса при некоторых воздействиях всегда много меньше времени старения (или срока службы) системы  :