Построение и преобразование структурных схем, описывающих систему управления. Дифференциальные и алгебраические уравнения, страница 11

чтобы освободиться от мнимых частей в числителе и знаменателе, домножим и числитель и знаменатель на  , получим:

получим 

Показатель колебательности для неколебательной системы М=0. У такой системы нет перерегулирования и гормонических составляющих (корни только вещественные).

Частотная область и алгебраические критерии Раута-Гурвица дают возможность косвенно опредилить, устойчива система или нет. А при использовагнии ЛАХ мы по виду частотной характиристики разомкнутой системы судим не только об ёё устойчивости, но и о точности (запретная зона по точности строится, исходя из добротности по скорости и по ускорению). Самую полную информацию о движении в системе может дать только результат интегрирования дифференциальных уравнений (ДУ), описывающих эту систему.

Решим след. задачу: как от передаточной функции или частотных характеристик перейти к линейным ДУ. В общем виде линейное ДУ может быть записано так:

Dx = Ax + Bu, начальное условие x(t₀)=x₀

,                где:

х – вектор столбец у которого S-координат буква Т означает транспонирование буква R- Римоново пространство (-это пространство, отвечающее ортоганальным):

R⁰ – точка, R¹ – линия, R² – плоскость, R³ – обьём

А-квадратная матрица размерности S на S:   

U вектор столбец внешних координат:

Мы рассматриваем внешние координаты двух типов:

·  Управляющие (описывают управляющий сигнал)

·  Возмущающие (помехи)

  (В – это прямоугольная матрица размерности Sxq)

            α_д =U₁

Запишем систему уравнений, соответствующих этой структурной схеме

1)  x1=α_д-х12

2)  x2=к2-х1

3)  x3=х2-15

4)  x4=к3х3

5) 

6)  x6=к5х5

7)  x7=х6-х14

8) 

9)  x9=х8-х13

10)

11) х11=к9х10

12)

13) х13=f7x10

14) x14=k8x9

15) x15=k10x11

Имеем 15 уравнений и 16 неизвестных U₁, х1,х2,…х15

Если в первом уравнении α_д =U₁ задать некоторой известной функцией времени (напр. 1(t)=1 радиан, Это угол, который мы задаём на вход) то из решения системы 15-ти уравнений можно определить функции времени для всех переменных. При этом уравнения № 5, 8, 10, 12 содержат символ дифференцирования «р», а все остальные уравнения являются алгебраическими уравнениями связи (они не содержат информации о производных).

Уравнение состояния Dx = Ax + Bu содержит только дифф. уравнения и каждое из них разрешено относительно первой производной соответствующей переменной состояния. Поэтому число уравнений, входящих в уравнение состояния соответствует порядку системы S.

Из 15-ти уравнений порядок систем уравнений определяется количеством операторов дифференцирования, стоящих в знаменателе прямой цепи структурной схемы (от х1 до х12)

Порядок системы=5. Надо получить уравнение состояния 5-го порядка для этой схемы. Но прежде рассмотрим простейшие примеры.

1)           рх12=х11

2)  Т6рх2+х8=к6х7                    

3) 

, где х41*х41=х4

Допустим, что в уравнении №5: к4=1, Т1=Т2=Т3=Т4=0

Таким образом исключаем из системы 15-ти уравнений все переменные, кроме х8, х10 и х12. И в принятом допущении х5=х4 мы получаем уравнения:

1) 

2)  рх10=к7х9

3)  рх12=х11

В правой части переменные х7, х9 и х11 выразятся через х8, х10, х12 и U₁ через уравнение связи. Мы получим искомое уравнение состояния.

02.04.99

     X15=k10X11=k10k9X10 (подставка уравнения 15);  X14=k8k10  (подставка уравнения14)

9-е уравнение тоже, что и было и в него мы подставляем X13 из уравнения 13

разрешенные относительно 1-ой производной:

 

Система уравнений состояний разрешенных относительно 1-ой производной от переменных состояний, записанные в форме Каши.

 

    : общий вид уравнений состояний обозначим X1=X12  X2=X10  X3=X9

 ;