Введение. Предмет, цель и содержание курса. Взаимосвязь методов системного анализа ИС. Моделирование экономических и информационных процессов системами и сетями массового обслуживания, страница 8

2.  времена обслуживания (подготовки сообщения) заявок  в узлах сети  t_si(w) являются независимыми одинаково распределёнными по экспоненциальному закону с параметром h случайными величинами,

3.  режим работы пользователей – диалоговый,  узел блокируется в ожидании ответа, число заявок в СеМО равно  М, нет очередей к приборам,

4.  работа каждого пользователя на терминале моделируется СМО М/М/1/¥ подсистемы передачи и обработки

1.  число узлов (подсистем передачи, обработки) – N,

2.  времена обслуживания (передачи, обработки) заявок  в узлах сети  t_si(w) являются независимыми одинаково распределёнными по экспоненциальному закону с параметром m_i случайными величинами i=1,2,..  N,

3.  матрица вероятностей переходов заявок Р=(р_ij)    i,j=0,1,2,..  N

4.  работа каждого узла моделируется СМО М/М/1/¥

Требутся найти:

- показатели производительности замкнутой диалоговой  сети массового обслуживания, включающие системные характеристики каждого узла подсистемы передачи и обработки  - T_qi, T_wi, L_qi, L_wi, r_i. i=1,2,..N и  сетевые характеристики сети в целом  - время ответа -T_q, T_w, L_q, L_w .

Решение:

Составим также как для открытой сети систему уравнений равновесия для интенсивностей потоков, циркулирующих в сети. Система уравнений для потоков представляется в матричном виде: l = P^Tl

Откуда получаем  (I – P^Т)l = 0. Система не имеет однозначного решения, поскольку если l^* есть решение, то и k l^* также удовлетворяет системе уравнений при любом значении k.

Решение задачи для замкнутых экспоненциальных сетей базируется на вычислительной процедуре нахождения вероятностей состояний сети, которая существенно зависит от числа узлов и количества циркулирующих  заявок и для сетей большой размерности требует большой памяти ЭВМ и машинного времени. Рассмотрим приближённый метод решения, имеющий значительно меньшую вычислительную сложность. Метод решения основан на раздельном рассмотрении (декомпозиции) сети на терминальную подсистему и подсистему передачи и обработки. Терминальная подсистема моделируется как совокупность М циклических подсистем, каждая с одной заявкой и одним обслуживающим прибором. Время обслуживания в приборе  распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1/h + Т_q . Подсистема передачи и обработки моделируется как экспоненциальная  однородная открытая сеть массового обслуживания с N узлами СМО М/М/1/¥ и средним временем обслуживания в узлах 1/m_i . Предполагается, что суммарный поток заяМ

вок, циркулирующий в терминальной подсистеме l₀ = ¾¾¾  , равен проходящему потоку

1/h + Т_q

через открытую СеМО – подсистему передачи и обработки. Время ответа на запрос терминала есть задержка в открытой сети:

N         1

Тq = åai ¾¾¾

i=1    m_i - a_i l₀

Коэффициенты передач a_i находятся из уравнения         a= (I – P^Т)^-1 p₀ . Подставляя Т_q в формулу для суммарного потока получим нелинейное  уравнение для определения l₀:

М

l₀ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

N

1/h  + åa_i  /(m_i - a_i l₀)

i=1

Решив уравнение, найдём l₀ , затем Т_q (время ответа) и потоки в каждую систему l_i =a_i l₀. По ним вычисляются системные характеристики.

Пример 2.  Найдём системные и сетевые характеристики для замкнутой диалоговой СеМО, изображённой на рис.8.5. Число узлов в терминальной подсистеме М равно 3, все узлы типа М/М/1/¥, интенсивность подготовки запросов на рабочей станции h = 0.1с^-1, обслуживания сервером - m= 1с^-1. Матрица вероятностей переходов Р имеет вид:

æ0 1 ö ç ÷

Р = ç1 0 ÷ ç ÷ è ø

Решение. Терминальная подсистема представляется тремя циклическими подсистемами, каждая с одной заявкой и одним обслуживающим прибором. Время обслуживания в приборе  распределено по экспоненциальному закону со средним значением 10 + Т_q . Суммарный поток заявок, циркулирующий в терминальной подсистеме l₀ = 3 /(10 + Т_q).

Коэффициент передачи a₁ равен 1. Уравнение для определения интенсивностей потока, циркулирующего  в сети, будет иметь вид:

3

l₀ = ¾¾¾¾¾¾

10  + 1/(1 - l₀)