Введение. Предмет, цель и содержание курса. Взаимосвязь методов системного анализа ИС. Моделирование экономических и информационных процессов системами и сетями массового обслуживания, страница 18

Видно, что вторая производная критериальной функции больше нуля, следовательно функция выпукла как сумма выпуклых слагаемых. Ограничение (2.2) также является выпуклым как сумма линейных слагаемых. Тогда локальный минимум задачи будет глобальным и можно применить метод множителей Лагранжа для поиска минимума.Образуем функцию Лагранжа: L(m₁,...m_Nb) =Tq(m₁,...m_N ) +b(åN m_i -m) =åN li 1 +b(åN mi -m)

i=1                                     i=1 lmi -li                      i=1

Имеем функцию N+1  переменной без ограничений. Дифференцируя её по µ_i ,β,  i = 1, 2,…N и приравнивая результат к нулю получаем систему N+1уравнений с N+1 неизвестными:

ï¶mi = - li mi -li +b= 0, ïï í... ï¶L      N ï       = åmi -m= 0 ïî¶b i=1	i =1...N	(2.4) (2.5)
Из (2.4) получим		(2.6)

^{ì ¶L l 1}

lⁱ

m_i =l_i +            i=1,2,….N

bl

Суммируя (2.6) и используя (2.5) получим:

N

        N                                         N å li

åmi =m=åli + i=1

i=1                           i=1                      bl                                                                          (2.7)

N

å l_i

bl= i=1

Из (2.7) найдем        ^m-l , откуда неизвестный множитель Лагранжа будет равен

N

( å l_i ) ²

b = li(=m1 - l) 2                                                                                                                                                                  (2.8)

Подставляя выражение (2.8) в (2.7)  получим решение задачи:

lⁱ                          i=1,2,…N       (2.9) mi =l_i +(m-l) _N å l_i

i=1

Подставляя m в критериальную функцию (2.1), найдем минимальное значение средней задержки

i

T⁰_q(μ₁,… μ_N/λ₁,…λ_N)

N               N                 æ Nö² å l å l    çå l÷

        min{mi} T_q =åiN=1 lli (mii=-1l_i )i l_i =li(=m1 -li ) æçèåN li ÷ö= è(im=1-li)lø = ((11-/mr))(åiN=1                                                                              Pi)                                                             (2.10)

i=1            ø

Следствия.

1.  T_q⁰(m₁...m_N /l₁...l_N ) достигает минимума   по переменным  λ_i при равномерном распределении потока задач по серверам, когда l_i = l/ N :

æ Nö2 çå p_i ÷

             Tq0(m1...mN ) = è i(=m1 -l)ø Þ Tq0 = (mN-l) = (1(1/m-)r×)N

2.Оценки снизу и сверху для минимального значения средней задержки имеют вид:

1 £ T 0 £ N

m-l q                   (m-l)

2.  Задача определения оптимального распределения нагрузки по серверам  информационно - вычислительной сети.

Рассмотрим задачу оптимального распределения нагрузки между серверами ЦВК  при условии что производительность каждого сервера задана. Схема технических средств информационновычислительной системы приведена на рис. 2.1.1, а  структурная модель ЦВК на  рис. 2.1.2. Оптимальное обслуживание входящей нагрузки связано с таким согласованием нагрузки для каждого сервера с заданной производительностью сервера  при которой  средняя задержка любого сообщения в сети будет минимальной.

В качестве функциональной модели совокупности серверов рассмотрим  параллельную сеть массового обслуживания со случайным ветвлением заявок. Каждый сервер  представим одноканальной системой массового обслуживания M/M/1. Предполагается, что известен общий входной поток в сеть  λ и производительность каждой системы μ_i ( рис. 2.2.1.)

        Рис. 2.2.1. Функциональная модель ЦВК сети.

Постановка задачи оптимального распределения нагрузки между серверами ЦВК будет иметь вид:

Дано:

N – изолированных серверов и их модели в виде систем М/М/1 l  - общий входной поток заявок в сеть m_i - производительность каждого сервера  i=1,2,…N,  так что å^N m_i =m.

i=1

Найти: такую нагрузку на каждый сервер  λ_i , при которой средняя задержка  любого задания в сети будет минимальной

Tq(l1,...lN ) = min{li} åpiTqi (li /mi ) =min{li } åli mi -li i=1                                                           i=1 Ограничения:	(3.1)
åN li =l	(3.2)

N                                                                      N l 1

i=1