Введение. Предмет, цель и содержание курса. Взаимосвязь методов системного анализа ИС. Моделирование экономических и информационных процессов системами и сетями массового обслуживания, страница 21

çå P_i ÷× P_i l_i = m_i ^{- è i=1      ø}               i = 1, 2,…N                                   (5.7.) T

Складывая правые и левые части системы уравнений (5.7) получаем решение задачи æ Nö2 çå P_i ÷ l =m ^{-è i=1              ø} ,            λ_i=λ P_i      i = 1, 2,…N            (5.8.)

T

5. Задача определения сети минимальной производительности.

Рассмотрим в качестве функциональной модели совокупности серверов параллельную сеть массового обслуживания со случайным ветвлением заявок (рис. 2.2.1.). Каждый сервер  представим одноканальной системой массового обслуживания M/M/1. Предполагается, что производительности серверов μ_i являются переменными величинами, а нагрузка λ и её распределение по серверам λ_i фиксированы. С уменьшением производительности серверов μ_i растёт средняя задержка любой заявки в сети (и также уменьшается стоимость сети). При заданной нагрузке на сеть λ надо найти такую минимальную производительность серверов μ_i и сети μ когда задержка любой заявки в сети будет равна допустимой величине Т. Дальнейшее уменьшение производительности (и стоимости сети)  приводит к увеличению задержки на величину больше Т.

Постановка задачи определения сети минимальной производительности будет  иметь вид:

Дано:

·    N – изолированных серверов и их модели в виде систем М/М/1

·      λ_i – нагрузка на сервера, i = 1,……N, å^N l_i =l

i=1

Найти:   такую производительность сети μ  ( и соответственно каждого сервера μ_i ),  при которой  суммарная производительность серверов  будет минимальной:

N                                       N

m⁼åi=1 mi = ^min_{{ }m}i ^åi ₌1 m_i                                                                       (6.1)

Ограничения:

åi=ⁿ1 ^llⁱ mi ¹-li ⁼åi=ⁿ1 P_i mi ¹-li =T                                                    (6.2)

m_i >l_i ³0 ,    i = 1,……N

Решение:

Рассмотрим критериальную функцию (6.1). Критериальная функция  является аддитивной функцией величин μ_i, каждая из которых есть линейна (выпукла). Тогда критериальная функция (6.1) также будет выпукла.Докажем это. Найдём частные производные функций (6.1) и  (6.2.).

¶m=1 > 0, ¶²m2 = 0, i = 1,……N                                                         (6.3.)

¶mi                                ¶mi

¶T                  1                   ¶²T               2

    =-Pi mi -li ₎₂ < 0,   ¶mi₂ =Pi ₍mi -li ₎₃ > 0 , i = 1,……N         (6.4.)

¶mi                     ₍

Из (6.3) видно, что вторая производная критериальной функции равна нулю, следовательно функция выпукла как сумма линейных слагаемых. Ограничение (6.4) также является выпуклым (вторая производная функции больше нуля).  Тогда локальный минимум задачи будет глобальным и можно применить метод множителей Лагранжа. Образуем функцию Лагранжа:

L(m1....mNb) = åiN=1 mi +bççèæåiN=1 Pi mi 1-li -T ÷ö÷ø

Имеем функцию N+1  переменной без ограничений. Дифференцируя её по μ_i ,β,  i = 1, 2,…N и приравнивая результат к нулю получаем систему N+1уравнений с N+1 неизвестными: ìïﶶlLi =1-bPi             1   2 =0

(mi -li )

íïïbL =_T-åi=n1 _Pi mi 1-li =₀                       i = 1, 2,…N                                     (6.5)

Из (6.5) получим:

m_i =l_i + P_i b                i = 1, 2,…N                                                                       ( 6  . 6  )

Подставив (6.6) в (6.5) получим

åN Pi

b= i=1

T

Или окончательно из (6.6) находим

n

Pi å Pi

mi =l_i +         ⁱ⁼¹                         i = 1, 2,…N                                                                (6.7)

T

(åN Pi )2

Складывая правые и левые части системы уравнений (5.7) получаем решение задачи: m=l+ ⁱ⁼¹

T

,            m=å^N m_i

i=1

4. Имитационное моделирование бизнес – процессов систем. (2 часа)

2. Пример моделирования одноканальной СМО Пусть  исследуется  процесс,   отображенный одкокзналыгой >СМО

i. рИС .    1 ) .

Рпо.  1 . Модель, одноканальной СМО

Пусть Л.-0,1 заявки/мин интенсивность входного потока заявок на обслуживание; Ts я '( мин - сроднее время обслуживания одной заявки в обслуживающем приборе (канале).

Кроме того,  известно: