Введение. Предмет, цель и содержание курса. Взаимосвязь методов системного анализа ИС. Моделирование экономических и информационных процессов системами и сетями массового обслуживания, страница 6

В стационарном режиме интенсивности входящего в узел  и выходящего из узла потоков должны совпадать и поэтому введём для них общее обозначение l_i  . Тогда  имеем:

l_ij = l_i p_ij ,            i,j = 0,1,2,….M.      (1)

Суммируя равенство (1) по i = 0,1,2….М получим систему M уравнений равновесия с  M неизвестными для интенсивностей потоков, циркулирующих в сети:

é       M                    M

í l_j = ål_i p_ij   = g_j + å l_i p_ij       j=1,2,…M        (2) ë       i=0                   i=1

Систему уравнений (2) можно записать в векторном виде:

æl1 ö æg1 ö æ p ç      ÷ ç       ÷ ç 11 ç ... ÷ è çççllM2 ÷÷ø÷=çççèçgg...M2 ÷÷÷÷ø+ççççèpp...M211 Или переписать в матричном виде:

p12 p22 ... pM 2

... ... ... ...

p1M ö÷T p2M ÷ ... ÷÷÷ pMM ø

æl1 ö ç        ÷ ´ççl...2 ÷÷÷÷           (3) ççlM ø è

l = g + P^Tl                          (4)

Так как Р  есть главная подматрица неразложимой стохастической матрицы Р₀ , то матрица  I- Р^Т  обратима и решение системы уравнений (2) будет иметь вид: l = (I – P^Т)^-1 g   (5)

Теперь задача сводится к определению показателей производительности  узлов сети. Решение для найденных l  при условии независимости узлов (теорема 2) задают  полученные выше формулы 1 -  17  для М/М/1/¥ . В частности:

Tqi = mi 1-li ri =li /mi

Twi = Tqi - 1/mi

Lqi = Tqi * li

Lwi = Twi * li

Найдем сетевые характеристики. Очевидно, что суммарное среднее число заявок в очередях узлов  и в сети в целом можно вычислить по формулам (6), (7).Тогда суммарное среднее время пребывания заявки в сети (среднее время задержки)  и  в  очередях можно найти по формуле Литтла (8), (9):

M

L_w = åL_wi (6)

i=1

M

L_q = åL_qi (7)

i=1

T_q = L_q /l₀ = åM li Tqi = åM aiTqi (8)

i=1 l0                   i=1

M l           M

T_w = Lw /l0 = å i Twi = åaiTwi (9)

i=1 l0                   i=1

Пример 1. Найдём системные и сетевые характеристики для СеМО, изображённой на рис.8.4. Число узлов М равно 3, все узлы типа М/М/М/1/¥ , интенсивности обслуживания в приборах равны m₁ = 1.4с^-1, m₂ = 0.14с^-1, m₃ = 0.29с^-1. Интенсивность входящего потока равна l₀ = 0.7с^-1. Матрица вероятностей переходов Р (подматрица матрицы Р₀) имеет вид:

æ0 0.1 0.2ö ç ÷

Р = ç1      0      0 ÷

^çè1    0     0 ^÷ø

Внешний входящий поток поступает в первый узел с вероятностью р₀₁ = 1.

Рис.8.4 Пример открытой сети массового обслуживания

Решение. Система уравнений равновесия для интенсивностей потоков, циркулирующих в сети, будет иметь вид: l₁ = l₂ + l₃ + 0.7 l₂ = 0.1l₁ l₃ = 0.2l₁

Система уравнений имеет  решение l₁ = 1, l₂ = 0.1, l₃ = 0.2. Теперь можно вычислить показатели производительности узлов сети (системные характеристики), значения которых приведены в таблице.

	ri	Tqi	Twi	Lqi	Lwi
S1	0.7	2.5c	1.8с	2.5	1.8
S2	0.7	25c	17.9с	2.5	1.8
S3	0.69	11.1c	7.7с	2.2	1.5

По найденным значениям системных характеристик вычисляем показатели производительности сети в целом (сетевые  характеристики), значения которых приведены в таблице.

Lw	Lq	Tw	Tq
5.1	7.2	7.3с	10.3с

Приведём без доказательства формулу для расчёта дисперсии времени пребывания заявки в открытой сети  массового обслуживания:

M                  M   M

Dt_q = å Mn_j Dt_qj + å     å cov (n_j n_m) T_qj T_qm

j=1                j=1 m=1