Рис.8.3. Смешанная сеть массового обслуживания
СеМО называется однородной, если все циркулирующие в ней заявки одного типа (одна функция распределения вероятностей длительности обслуживания, и/или одна дисциплина обслуживания, одна матрица вероятностей переходов между узлами). СеМО называется неоднородной, если в ней есть заявки нескольких типов с различными функциями распределения вероятностей длительности обслуживания и/или дисциплиной обслуживания, и различными матрицами вероятностей перехода между узлами. Две теоремы позволяют упростить процедуру вычисления показателей производительности СеМО.
Теорема 1. (Burke 1956 г.) В установившемся режиме выходящий поток заявок из СМО M/M/N/r с пуассоновским входящим потоком интенсивности l также будет пуассоновским, если понимать под ним суммарный поток как обслуженных, так и потерянных заявок.
Теорема 2. (Jackson 1957 г.) Для открытой однородной экспоненциальной СеМО с узлами М/M/Ni/¥, пуассоновским внешним входящим потоком L каждый узел сети в стационарном режиме можно рассматривать в первом приближении как независимую СМО М/M/Ni/¥ с пуассоновским входящим потоком интенсивности li.
Рассмотрим пример расчёта показателей производительности открытой однородной экспоненциальной СеМО с узлами М/M/1/¥, пуассоновским внешним входящим потоком l0. Сеть состоит из М узлов, в которые поступают заявки от внешнего источника – узел 0. Предполагается, что узел i сети представляет собой систему М/M/1/¥. Поток заявок от внешнего источника является пуассоновским интенсивности l0.
M
Каждая поступающая в сеть заявка с вероятностью р0i, å p0i =1, независящей
i=1
от состояния сети и всей предыстории её функционирования, направляется в узел i, i=1,2,..M . Согласно теореме о разреживании пуассоновского потока поступающий из вне в узел i поток заявок будет пуассоновским интенсивности gi = l0 р0i , i=1,2,..M . Время обслуживания заявки на любом из приборов узла i является случайной величиной, также независящей от состояния сети и её предыстории, распределённой по экспоненциальному закону с параметром mi , i=1,2,..M. Дисциплина обслуживания заявки в каждом узле в порядке поступления. Маршрутизация заявок в сети задаётся матрицей вероятностей переходов заявок из системы в систему. После окончания обслуживания в узле i с вероятностью рij независящей от состояния сети и её предыстории заявка мгновенно переходит в узел j i,j=1,2,..M,
M
и с вероятностью рi0 = 1- å pij =1, i=1,2,..M, покидает сеть. Матрица Р0 = (pij ) j=1
i,j=0,1,2,..M, является стохастической и называется матрицей вероятностей переходов или маршрутной матрицей. Помимо матрицы Р0 также рассматривают её подматрицу Р= ( pij ) i,j=1,2,..M. Таким образом для сети задано:
1. пуассоновский внешний входной поток заявок с параметром l0,
2. времена обслуживания заявок в узлах сети tsi(w) являются независимыми одинаково распределёнными по экспоненциальному закону с параметром mi случайными величинами,
3. времена обслуживания заявок в узлах независят от состояния сети и её предыстории,
4. выбор заявок из очереди буферного накопителя производится в порядке их поступления в систему (в соответствии с дисциплиной обслуживания FCFS),
5. типы узлов сети - М/М/1/¥,
6. матрица вероятностей переходов Р0 = (pij ) i,j=0,1,2,..M.
Требуется найти:
- показатели производительности открытой сети массового обслуживания, включающие системные характеристики каждого узла - Tqi, Twi, Lqi, Lwi, ri. i=1,2,..M и сетевые характеристики сети в целом - Tq, Tw, Lq, Lw .
Ограничения: режим работы сети стационарный Решение:
Найдём потоки, циркулирующие в сети. Пусть lij интенсивность потока заявок из узла i в узел j , i,j =
0,1,2,…M., l00 =0. Тогда суммарная интенсивность потока, поступающего в
M
узел i от внешнего источника заявок и всех узлов сети будет равна li = ålji .
J=0
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.