Введение. Предмет, цель и содержание курса. Взаимосвязь методов системного анализа ИС. Моделирование экономических и информационных процессов системами и сетями массового обслуживания, страница 19

m_i >l_i ³ 0  i=1,2,…N,

Решение:

Рассмотрим критериальную функцию (3.1). Критериальная функция  является аддитивной функцией величин Tq_i, каждая из которых есть выпуклая функция по  λ_i. Тогда критериальная функция (2.1) также будет выпукла.Докажем это. Найдём частные производные

                                 ìﶶTlq_ii =l(m_im-i l_i )² >0          i=1,2,…N                                     (3.3)

ï

íïïl2Tq2i = l(l2i m- imi ) >0

-                3

i

Из (3.3) видно, что вторая производная критериальной функции больше нуля, следовательно функция выпукла. Ограничение (3.2) также является выпуклым как сумма линейных слагаемых.  Тогда локальный минимум задачи будет глобальным и можно применить метод множителей Лагранжа. Образуем функцию Лагранжа: L(l₁,...l_Nb) =Tq(l₁,...l_N ) +b(-åN l_i +l) =åN li                 1 +b(-åN li +l)

i=1                                    i=1 lmi -li                          i=1

Имеем функцию N+1  переменной без ограничений. Дифференцируя её по λ_i ,β,  i = 1, 2,…N и приравнивая результат к нулю получаем систему N+1уравнений с N+1 неизвестными:

^{ì ¶L} = ^mi             -b= 0, i =1...N           (3.4) _ï

Из (3.4) найдём решение l_i =m_i ^{- 1} m_i      i=1,2,…N           (3.6) bl

Суммируя (3.6) и используя (3.5) получим выражение для определения неизвестного множителя Лагранжа:

N

                                                                                                                    (3.7)

i=1

Из (3.7) найдем bl=               , откуда получим неизвестный множитель Лагранжа

b⁼ l(m-l)₂                                                                                                                                                                         (3.8)

Подставляя (3.8) в (3.6) окончательно получим решение задачи:

mⁱ

l_i =m_i - (m-l) _N          (3.9) å m_i

i=1

Подставим l_i в критериальную функцию (3.1.) найдем минимальное значение средней задержки T⁰_q(λ₁,… λ_N/μ₁,…μ_N)

N

å

Или (3.10) можно переписать в другом виде:

æ Nö2 çå p_i ÷

min T 0 = 1/ m× è i₌₁                  ø _- (1/ m)N l_i }                  q                  1-r r         r {

Следствия:

1.  В случае равномерного распределения ресурсов m_i = m/ N минимальное значение задержки совпадает с выражением для минимального значения задержки при оптимальном распределении нагрузки

Tq0 = (11-/^m_r)× Nr- (1/mr)N = (1/_r^m)N ççèæ (1-1_r) -1÷÷øö = 11-/^m_r×N

2.  Распределение нагрузки лучше (меньше задержка), чем распределение ресурсов

N

(å p )2

DT = T_q⁰(R) -Tq0(H) = (11-/mr)(åiN=1 pi )2 - (11-/mr) i=1 r i          + (1/mr)N =

=            (1/m) æ åN2 - (åN pi )2 + (1-r)N ö÷ = 1/m × N çr(      pi )

(1-r)rè      i_{=1                            i=1}                                                ø     1-r

3.  Задача определения оптимального распределения нагрузки по серверам  в равномернозагруженных информационно - вычислительных сетях.

В качестве функциональной модели совокупности серверов рассмотрим  параллельную сеть массового обслуживания со случайным ветвлением заявок. Каждый сервер  представим одноканальной системой массового обслуживания M/M/1. Предполагается, что известен общий входной поток в сеть  λ и производительность каждой системы μ_i ( рис. 2.2.1.) Оптимальное обслуживание входящей нагрузки связано с таким согласованием нагрузки каждого сервера с его производительностью  при котором  загрузки всех систем r_i =l_i m_i i=1,2,…N будут равны.

Постановка задачи оптимального распределения нагрузки между серверами ЦВК в равномерно загруженных информационно - вычислительных сетях  будет  иметь вид:

Дано:

§  N – изолированных серверов и их модели в виде систем М/М/1

§  m_i - производительность каждого сервера i=1,2,…N

§  l - общий входной поток заявок в сеть

Найти:  такую нагрузку на каждый сервер l_i i=1,2,…N  при которой максимально загруженная система сети будет иметь минимальную загрузку (поток, который минимизирует загрузку сервера в наиболее загруженном месте сети)