Понятие об управлении и системах управления. Информация и принципы управления. Цели системы управления и качества процессов достижения цели, страница 6

Аналитический способ построения математических моделей применяется для объектов хорошо изученной природы.

 RLC-цепь

 

 

 

(ЗНК)  

  

Маятник

В отличие от RLC-цепи маятник – генератор.

 

  

Выводы:

1.  Объекты электрической и механической природы моделируются дифференциальными уравнениями одинакового вида.

2.  Исследование       механических       объектов     можно проводить   по электрическим.

Формулы для расчёта параметров эквивалентной маятнику цепи:

•    

•    

•    

Т.о четырёхполюсник является физической (аналоговой моделью маятника).

Рассмотрим абстрактную модель – дифференциальное уравнение второго порядка:

Для решения дифференциального уравнения можно соответствующим образом построить электрическую цепь, с помощью которой можно получить решение   этого дифференциального уравнения, что     является      основой аналоговых вычислительных машин.

1.10.2  Идентификация.

Задан объект в виде «черного ящика». Требуется описать этот объект математически.

 

1.11 Классы моделей (операторов)

Свойства моделей:

1.  Линейность.

2.  Стационарность – свойства оператора не зависят от времени.

3.  Детерминированность – параметры модели не являются случайными величинами.

4.  Конечномерность – сосредоточенность параметров.

1.12 Общая схема построения моделей.

Системный анализ включает в себя:

1.  Обособление объекта

2.  Перечисление переменных, связывающих объект и окружающую среду.

3.  Введение упрощений и гипотез.

 

Рис. 1.12. Аналитический способ построения модели.

Если объект уже существует, тогда используется идентификация, которая начинается с работы над математической моделью.

2  Линейные модели.

2.1  Модели «вход-выход».

 

Рис. 2.1. Фильтр.

 

Рис. 2.2. Генератор.

2.1.1  Дифференциальные уравнения.

Различные процессы протекают с различными скоростями. Поэтому алгебраических уравнений недостаточно для описания этих процессов.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка содержат скорость протекания процесса:

Линейные дифференциальные уравнения, разрешённые относительно производной, называются дифференциальными уравнениями в форме Коши:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка содержат скорость и ускорение протекания процесса:

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение есть модель фильтра.

Однородное линейное дифференциальное уравнение есть модель генератора.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляются начальные условия.

2.1.2  Передаточные функции.

Перейдём к изображению выходного сигнала и входного воздействия при помощи преобразования Лапласа:

Свойство линейности преобразования Лапласа следуют из свойств интеграла:

 

Теорема о дифференцировании оригинала

Преобразование Лапласа линейного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях есть алгебраическое уравнение:

Передаточная функция – отношение изображений по Лапласу сигнала на выходе к сигналу на входе при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция есть динамический коэффициент усиления.

Передаточная функция не учитывает предысторию процесса.

По передаточной функции легко восстановить линейное дифференциальное уравнение и наоборот.

Если , то процесс является статическим.

Если , то процесс является динамическим.

2.1.3  Веременные характеристики.

Временные характеристики - реакции на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.

Типы воздействий:

1.  Единичная импульсная функция Дирака  

 

2.  Единичная ступенчатая функция Хевисайда  Связь  и :

Реакция на  при нулевых начальных условиях есть импульсная функция (функция веса) .

Реакция на  при нулевых начальных условиях есть переходная характеристика .

2.1.4  Частотные характеристики.