Понятие об управлении и системах управления. Информация и принципы управления. Цели системы управления и качества процессов достижения цели, страница 10

Критерий Михайлова устойчивости систем: Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, проходил последовательно n квандратнов (не пропуская) комплексной полуплоскости по часовой стрелке.

3.4  Устойчивость типовых соединений звеньев.

3.4.1  Последовательное (каскадное) соединение.

Рассмотрим два звена с передаточными функциями :

 

Характеристический полином системы, образованный последовательным соединением звеньев, равен произведению характеристических полиномов звеньев.

Устойчивость системы определяется устойчивостью её звеньев.

3.4.2  Паралелльное соединение.

 

Для системы без контуров, т.е. образованной только последовательными и параллельными соединениями звеньев характеристический полином равен произведению характеристических полиномов звеньев.

Устойчивость безконтурных систем определяется только устойчивостью её звеньев.

3.4.3  Соединение с отрицательной обратной связью.

 

 

 

где  – характеристический полином замкнутой системы

(ХПЗС).

Рассмотрим функцию комплексного аргумента , где

 - передаточная функция разомкнутой системы.

Мнемоническое правило: ХПЗС = ЧПФРС + ЗПФРС

Пусть разомкнутая система устойчивая, т.е  согласно

критерию Михайлова

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, требуется

.

Следовательно, имеем критерий Найквиста:

Это означает, что годограф  не охватывает начало координат.

Поскольку , где  – АФХ разомкнутой системы, то необходимым и достаточным условием замкнутой системы является следующее: АФХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами (-1; 0) на комплексной плоскости. Такая система при замыкании устойчивость не потеряет

 

где 1 – устойчивая система; 2 – граница устойчивости; 3 – переход корней через границу

Если годограф АФХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1; 0) по часовой стрелке один раз, то два корня характеристического полинома при замыкании контура перейдут в правую полуплоскость.

Если годограф АФХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1; 0) против часовой стрелки один раз, то два корня характеристического полинома при замыкании контура перейдут в левую полуплоскость.

3.4.4  Устойчивость систем с произвольной структурой.

Этапы определения устойчивости систем с произвольной структурой:

1.  Проанализировать устойчивость звеньев.

2.  Получить характеристический полином и передаточную функцию системы. Для этого можно воспользоваться эквивалентными преобразованиями системы.

 Пример: найти передаточную функцию системы

 

Решение:

Используем эквивалентные преобразования:

 

Исключили .

 

Исключили  

 

Получили систему с отрицательной обратной связью, передаточная функция которой равна:

 

 - характеристический полином системы

Ответ: .  

3.5  Формула Мэйсона для передач сигнального графа.

3.5.1  Сигнальный граф.

Сигнальный граф – одна из возможных форм представления систем произвольной структуры.

Задаётся множество переменных . Зададим на  

бинарное отношение . Если  отвечают сигналы,  – оператор, где  - следствие и  – причина, то  - сигнальный граф. 

                                                          Пусть                         ,

 

 

Если операторы  – линейны, а в вершинах происходит суммирование сигналов заходящих дуг, то такой сигнальный граф называется линейным.

Пусть необходимо получить передаточную функцию между двумя вершинами сигнального графа.  

3.5.2  Алгебраический способ исключения переменных.

Рассмотрим изображения переменных по Лапласу и, соответственно, передаточную функцию дуг.

 Рассмотрим граф

 

и запишем по нему уравнения:

 (линейное уравнение в причинно-следственной

форме: слева – следствие, справа - причины)

Запишем эти уравнения в матричной форме: