Экономика и менеджмент \ Основы теории управления

Понятие об управлении и системах управления. Информация и принципы управления. Цели системы управления и качества процессов достижения цели, страница 11

3.5.3 Формула Мэйсона.

Формула Мэйсона является топологическим аналогом правила Крамера.

где - определитель сигнального графа; - передаточная функция пути от вершины r до вершины q; - минор p-го пути, равный определителю подграфа, полученного удалением p-го пути

где – передаточная функция k-го контура; – произведение передаточных функций пар непересекающихся контуров; - произведение передаточных функций троек непересекающихся контуров В формуле использованы следующие топологические понятия:

1. Путь – последовательность вершин и дуг, в которой каждый элемент встречается ровно один раз.

2. Контур – замкнутый путь, т.е. путь, последняя вершина которого совпадает с первой.

3. Отношения касания: если контуры имеют общие вершины, то говорят, что они касаются друг друга.

Контуры:

Все контуры соприкасаются друг с другом.

Пути:

Получили .

Контуры:

Пара не касающихся контуров - .

Пути:

Миноры

3.6 Построение структурированных моделей (задача реализации).

Рис. 3.1. Схема LTI.

Требуется представить данную систему в виде совокупности простых.

Переход к совокупности простых систем неоднозначно.

3.6.1 Запись дифференциальных уравнений в матричной форме пространства состояний.

Дифференциальные уравнения записываются в виде:

где .

Требуется привести эту систему к форме пространства состояний:

записать как дифференциальное уравнение.

Проблема состоит в выборе переменных состояния (компонент ).

Возьмём т.н. «естественный базис»:

Рис. 3.2. Геометрическое представление переменных состояния.

Неоднозначность возникает при выборе базиса.

Получаем:

Или, в матричной форме:

Рис. 3.3. Схема модели в форме пространства состояний.

Таким образом, для реализации требуются интеграторы, сумматор и усилители.

Рассмотрим уравнение n-го порядка:

Разрешим это уравнение относительно старшей производной:

Записываем переменные состояния в «естественном базисе»:

Записываем исходное уравнение в форме пространства состояний

Матрица A еще называется сопровождающей матрицей или матрицей Фробениуса.

3.6.2 Разложение передаточных функций в сумму простейших дробей.

Пусть задана передаточная функция:

Разделим на с остатком:

Пусть корни уравнения (полюсы ) – простые.

Тогда

где (формула Хевисайда)

Получили следующую реализацию:

Таким образом, для реализации требуется дифференциатор, усилители, для звеньев с - интегратор, для звеньев с - устойчивое звено первого порядка с коэффициентом усиления и постоянной времени

, для звеньев с комплексно сопряжёнными корнями - звено второго порядка , где - коэффициент демпфирования. При звено будет апериодическим и , что даёт 2 последовательно соединённых усилительных звена, при комбинированное звено, при консервативное звено.

3.6.3 Разложение передаточной функции на произведение (факторизация).

Пусть задана передаточная функция:

Представим в виде произведения:

где - нули передаточной функции; - полюса передаточной функции.

3.7 Анализ качества процессов.

Если система устойчива, то процессы затухают. Это является необходимым условием работоспособности систем. Однако, этого не достаточно – желательно, чтобы процессы затухали достаточно быстро, без излишней колебательности.