Экономика и менеджмент \ Основы теории управления

Понятие об управлении и системах управления. Информация и принципы управления. Цели системы управления и качества процессов достижения цели, страница 15

Разность первого порядка есть:

Если , то последовательность при переходе от к растёт, если , то последовательность при переходе от к не изменяется, если последовательность при переходе от к убывает.

Разность второго порядка есть:

Разности высших порядков строятся аналогично.

5.3.2 Разностные уравнения.

Разностные уравнения содержат последовательности и их разности различных порядков. Поскольку разности можно представить через значения последовательностей в соседних точек, то разностные уравнения обычно записывают в следующей форме:

Допускается «сдвинуть» на k элементов последовательности:

Как и в дифференциальных уравнениях, имеются начальные условия

Генератор чисел Фибоначчи.

Известно, что (Изначально - число пар кроликов). Это разностное уравнение второго порядка.

Сдвинем индекс: .

Стандарные начальные условия ,

- итеративное решение разностного уравнения.

Разностные уравнения являются готовым алгоритмом итеративного решения, если оно разрешено относительно старшего члена.

Генератор псевдослучайной последовательности.

Алгоритм конгруэтный (т.к. использует операцию получения остатка от деления):

где

Пусть

Справедиво соотношение , т.е последовательность полученных чисел имеет равномерное распределение.

На языке MATLAB этот генератор имеет вид:

mu = 1; lambda = 5; G(1) = 5; N = 16; for k = 1:2*N

G(k + 1) = rem(1 + 5 * G(k), N); end

Фильтр МА(3).

Пусть фильтр подключен к генератору псевдослучайных чисел, имеющих равномерное распределение. Требуется получить последовательность псевдослучайных чисел, имеющих нормальное распределение.

5.4 Анализ дискретных систем. Решение разностных уравнений.

Разностные уравнения, разрешённые относительно старшего члена, являются готовым алгоритмом итерационного решения. Вместе с тем, представляет интерес выражение для произвольного члена последовательности.

Рассмотрим процедуру решения разностного уравнения на примере.

Пусть задано уравнение . Будем искать решение в форме , где k известно.

Подставим в исходное уравнение:

С учётом, что имеем

Получили характеристическое уравнение разностного уравнения.

Линейная комбинация есть решение исходного уравнения. и находятся из системы:

Или в матричном виде:

где - матрица Вандермонда

Эта формула называется формулой Бине.

Значение аналитического выражения для решения в том, что имеется возможность анализа асимптотики решения и внутренних структурных свойств последовательности.

Эмпирически было получено, что и