Другие предметы \ Функциональный анализ

Линейные нормированные пространства, страница 9

Доказательство. Выберем в R счетное всюду плотное множество Если ограниченная (по норме) последовательность линейных функционалов на R, то

ограниченная числовая последовательность. Поэтому из можно выбрать подпоследовательность

так, чтобы числовая последовательность

сходилась. Далее, из подпоследовательности подпоследовательность

так, чтобы

сходилась, и т. д. Таким образом, мы получим систему последовательностей

из которых каждая следующая есть подпоследовательность предыдущей. Взяв затем «диагональную» подпоследовательность

мы получим последовательность линейных функционалов такую, что

сходится для всех п. Но тогда сходится и для любого Теорема доказана.

Последняя теорема подсказывает следующий вопрос. Нельзя ли в пространстве сопряженном к сепарабельному, ввести метрику так, чтобы ограниченные подмножества пространства в этой новой метрике были компактны. Иначе говоря, нельзя ли в ввести метрику так, чтобы в каждом ограниченном подмножестве пространства сходимость в смысле этой метрики в совпадала со слабой сходимостью элементов из как линейных функционалов. Такую метрику в действительно можно ввести.

Пусть счетное всюду плотное множество в R. Положим, для любых двух

(2)

Этот ряд сходится, так как его n-й член не превосходит Величина (2) обладает всеми свойствами расстояния. Действительно, первые две аксиомы очевидны; проверим аксиому треугольника.

Так как

то

Непосредственная проверка показывает, что для ограниченных последовательностей из сходимость в смысле этой метрики действительно эквивалентна слабой сходимости в

Теперь теорема 1 может быть сформулирована следующим образом:

Теорема 1'. В пространстве R, сопряженном к сепарабельному, с метрикой (2) всякое ограниченное подмножество компактно.

§ 29. Линейные операторы

1. Определение линейного оператора. Ограниченность и непрерывность

Имеются два банаховых пространства R и R', элементы которых обозначаются соответственно через х и у. Пусть дан закон, по которому каждому х из некоторого множества ставится в соответствие некоторый элемент у из пространства R'. Тогда говорят, что на множестве X определен оператор у = Ах с областью значений из R'.

Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых двух элементов и любых действительных чисел выполняется равенство

Определение 2. Оператор А называется ограниченным, если существует такая константа М, что

для всех

Определение 3. Оператор А называется непрерывным, если для любого существует такое число что из неравенства

следует, что

В дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы.

В том случае, когда пространство R' представляет собой числовую прямую, оператор у = А(х) представляет собой функционал, а сформулированные определения линейности, непрерывности и ограниченности переходят в соответствующие определения, введенные для функционалов в § 23.

Следующая теорема представляет собой обобщение теоремы 1 § 23.

Теорема 1. Для линейного оператора непрерывность и ограниченность эквивалентны.

Доказательство. 1. Пусть оператор А ограничен. Из неравенства следует, что

(1)

где М — константа, входящая в определение ограниченности. Если взять то неравенство (1) дает т.е. оператор А непрерывен.

2. Пусть оператор А непрерывен. Ограниченность его будем доказывать от противного. Предположим, что оператор А неограничен. Тогда существует такая последовательность:

(2)