Линейные нормированные пространства, страница 8

поэтому

Так как  при  для всякого  то

для каждого линейного функционала в

В то же время в сильном смысле последовательность  ни к какому пределу не сходится.

Посмотрим, что означает слабая сходимость в некоторых конкретных пространствах.

Примеры. 1. В конечномерном пространстве  слабая сходимость совпадает с сильной. Действительно, рассмотрим функционалы, соответствующие умножению на элементы

Пусть  слабо сходится к х. Тогда

т.е. первые координаты векторов  стремятся к первой координате вектора х, их вторые координаты стремятся ко второй координате вектора х и т. д. Но тогда

т. е.  сильно сходится к х. Так как из сильной сходимости всегда следует слабая, то наше утверждение доказано.

2. Слабая сходимость в  В качестве множества  линейные комбинации элементов которого всюду плотны в  можно взять совокупность векторов

Если

— произвольный вектор из  то принимаемые на х значения соответствующих линейных функционалов равны

т.е. координатам вектора х. Следовательно, слабая сходимость последовательности  в  означает, что числовая последовательность k-х координат этих векторов  сходится. Выше мы видели, что эта сходимость не совпадает с сильной сходимостью в

3. Слабая сходимость в пространстве непрерывных функций. Пусть  пространство непрерывных функций на отрезке [а, b]. Можно показать, что совокупность  всех линейных функционалов  каждый из которых определяется как значение функции в некоторой фиксированной точке  (см. пример 4 § 23), обладает тем свойством, что если последовательность  ограничена и  для всех  то  слабо сходится x(t). Для каждого такого функционала  условие

означает, что

Таким образом, слабая сходимость последовательности непрерывных функций означает, что эта последовательность а) равномерно ограничена, б) сходится в каждой точке.

Ясно, что эта сходимость не совпадает со сходимостью по норме в  т. е. с равномерной сходимостью непрерывных функций (приведите соответствующий пример).

§ 28. Слабая сходимость линейных функционалов

Аналогично понятию слабой сходимости элементов линейного нормированного пространства R можно ввести понятие слабой сходимости линейных функционалов.

Определение. Последовательность линейных функционалов  называется слабо сходящейся к линейному функционалу f, если:

1)  ограничены в совокупности

2) для всякого элемента

Слабая сходимость линейных функционалов обладает свойствами, аналогичными указанным выше свойствам слабой сходимости элементов, а именно из сильной сходимости (т.е. сходимости по норме) линейных функционалов следует их слабая сходимость, и выполнение условия  достаточно требовать не для всех  а только для совокупности элементов, линейные комбинации которых всюду плотны в R.

Рассмотрим один важный пример слабой сходимости линейных функционалов. Выше (§23, пример 4) мы говорили о том, что «-функцию», т.е. функционал на  который каждой непрерывной функции ставит в соответствие ее значение в точка нуль[3], можно «в некотором смысле» рассматривать как предел «обычных» функций, каждая из которых обращается в нуль вне некоторой малой окрестности нуля и имеет интеграл, равный 1. Сейчас мы можем уточнить это утверждение. Пусть  последовательность непрерывных функций, удовлетворяющих следующим условиям:

                                         (1)

Тогда для любой непрерывной на отрезке [a, b] функции x(t) имеем:

Действительно, по теореме о среднем

если  то  и

Выражение

представляет собой линейный функционал на пространстве непрерывных функций. Таким образом, полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: -функция есть предел, в смысле слабой сходимости линейных функционалов, последовательности (1).

В различных применениях понятия слабой сходимости линейных функционалов важную роль играет следующая

Теорема 1. Если линейное нормированное пространство R сепарабельно, то в любой ограниченной последовательности линейных функционалов на R содержится слабо сходящаяся подпоследовательность.