Принципи автоматичного керування та математичні моделі лінійних безперервних систем автоматичного керування, страница 9

Для заповнення рядків і стовпців, починаючи з третього рядка, використовують алгоритм Рауса у вигляді

                             ,                                 

        де  i – номер рядка, k – номер стовпця.

Згідно з критерієм Рауса треба заповнювати (n+1) рядок, де n – порядок системи.

.

Умови критерія Рауса, тобто позитивність коефіцієнтів  першого стовпця, не виконуються. Коефіцієнт  - негативний. Правих полюсів – два тому, що дві зміни знака з «+» на «-» (другий – третій рядки) і з «-» на «+» (третій – четвертий рядки). Система нестійка.

Критичне значення коефіцієнта передачі визначають із передостаннього рядка першого стовпця по виразу

             .           

Згідно (2.12)  = 9 – 1 = 8.

в) Критерій Михайлова

Критерій Михайлова – це частотний критерій, але він використовує, як і алгебраїчні критерії, вираз (2.5), тобто D(p)   замкненої системи.

Характеристичне рівняння замкненої системи

 

Після підстановки   в вираз (2.13) дістанемо вираз годографа Михайлова для даної системи

                            

Чи

             

           де дійсна і уявна складові після підстановки числових значень параметрів матимуть вигляд

                                                                                          

                                                                                              

Результати розрахунків годографа Михайлова наведені в таблиці 2.2.

          Таблиця 2.2 – Розрахункова таблиця для побудови

                                  годографа Михайлова

   Годограф Михайлова наведено на рисунку 2.2

Рисунок 2.2 - Годограф Михайлова

Годограф Михайлова, побудований за даними таблиці 2.2, відповідає нестійкий системі, тому що почерговий характер перетину характеристиками  та  квадратів I, II, III і IV відсутні.

Критичне значення коефіцієнта передачі визначають із формул (2.16) і (2.17), записуючи їх у такому вигляді

                                                                               

                                                                                     

Із (2.19) відшукують  і підставляють у формулу (2.18), з якої визначають.

Із (2.19) маємо  тоді 

Задачу стійкості системи по критерію Михайлова можна вирішити також за допомогою наслідку критерія Михайлова. Цей метод має ту перевагу порівняно з основним формулюванням, що дозволяє визначити стійкість системи по взаємному розміщенню дійсної  і уявної  складових без побудови самого годографа Михайлова. Характерної рисою стійкої системи і її відмінність від нестійких систем є переміжний характер розміщення точок перетину осі  дійсної  і уявної  складовими годографа Михайлова. Точки перетину осі  визначають із формул (2.20) та (2.21).

                                   ,                                  

                                                                     

Із формули (2.20) визначають точки перетину осі  дійсною складовою  годографа Михайлова, а із формули (2.21) – точки перетину осі  уявною  складовою годографа Михайлова.

Обчисляють частоти відповідних точок

 

Розміщують частоти на осі

Рисунок 2.3 ‑ Розміщення точок перетину осі ω

       складовими

На рисунку 2.3 переміжний характер перетину характеристиками та  осі  відсутній, отже система нестійка.

Критичне значення певного параметра системи, наприклад, коефіцієнта передачі можна знайти з умови перетину характеристик та  в одній точці на осі ω. Частоту, при якій характеристики та  перетинаються на осі , називають критичною частотою.

В нашому випадку це точка, в якій збігаються  та, тобто  Критичній частоті відповідає  (дивись формулу 2.18).

г)  критерій Найквіста

Для критерія Найквіста використовується передатна функція розімкненої системи, яка за умовами задачі матиме вигляд

                                                                        

                 або                           

Якщо передатна функція розімкненої системи подається у вигляді (2.22), то розв’язання задачі стійкості замкненої системи істотно спрощується і виконується за такою схемою:

‑визначаємо частоту, при якій модуль  повернеться на кут.

                                            

Згідно з виразом (2.24)

                                                                  (2.25)

або

                                                                    (2.26)

‑ визначаємо модуль  при частоті

                                    (2.27)

Точка с координатами [-1, j0] охоплюється АФХ розімкненої системи. Система в замкненому становищі нестійка.

Критичне значення коефіцієнта підсилення розімкненої системи визначається по формулі

                                                   (2.28)

Отже

                                             (2.29)

Якщо передатна функція розімкненої системи подається у вигляді (2.23), то розв’язання задачі стійкості треба проводити таким чином:

-  записуємо

                             (2.30)

-  розраховуємо годограф Найквіста згідно (2.30)

Результати розрахунків наведені в таблиці 2.3

             Таблиця 2.3 – Розрахункова таблиця для побудови годографа

                                     Найквіста.

Годограф Найквіста наведений на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 -  Годограф Найквіста

Годограф Найквіста охоплює точку с коефіцієнтом [-1, jo]. Замкнена система нестійка.