Бесстолкновительные явления при наличии пространственного заряда, страница 5

Следует решить уравнение  (2.4),    но с начальными условиями

V = V₀, V' =0    при     x= 0,                                                               (2.38)

где V₀ = mυ²₀/2e.Введем удобные для решения задачи единицы. Используем безразмерный потенциал

η = V/V₀,                                                                             (2.39)

и безразмерную координату

ξ = x/x₀,                                                                              (2.40)

где

х₀= (2/3) (2e/m)^1/4V₀^3/4                                                                                                        (2.41а)

или                                  х₀=V₀^3/4                                                                                                                                    (2.41б)

есть длина ускорения Чайлда, соответствующая данным J и V₀. Константа χ определена соотношением (2.9б). В переменных η и ξ уравнение (2.4) имеет вид

η" = (4/9)η^-1/2                                                                                                                                                   (2.42)

с начальными условиями

η' = 0,    η = 1     при   ξ = 0.                                                                           (2.43)

Штрихи у η означают дифференцирование по ξ. Первое интегрирование с учетом начальных условий дает выражение

(η')² = (16/9)(-1).                                                                            (2.44)

Тогда можно записать

                                                                                                                     (2.45)

Интеграл легко вычисляется, если ввести новую переменную интегрирования (— 1)^1/2, и мы получим

(-1)^1/2(+2) = ξ                                                                             (2.46)

или, используя выражения (2.39), (2.40) и (2.41), имеем

(— 1) ^1/2(+2) V₀^3/4= (3x/2) (m/2e)^1/4 (J/ε₀)^1/2 .                                          (2.47)

Легко заметить, что при >> l это уравнение совпадает с (2.7) и, следовательно, с уравнением Чайлда (2.9). Уравнение (2.47) нельзя ,решить относительно V, но можно для заданных значений J, V₀ и е/т построить график V(x) или, исходя из (2.46), построить универсальный график η(ξ) (рис. 2.4).

Полезно разрешить уравнение  (2.47)   относительно толщины слояа— расстояния, на котором потенциал доходит до определенной величины V, и сравнить это расстояние с толщиной слоя, полученной при решении уравнения Чайлда относительно х,

Рис. 2.4. Изменение потенциала в слое, создаваемое заряженными частицами с начальной энергией eVo. (Величина х0= V03/4 — характерное расстояние из уравнения Чайлда, соответствующее заданным Jи Vo).

записав

a/a₁ = (-1)^1/2(+2)η^-3/4,(2.48)

где а₁ — толщина слоя Чайлда, вычисленная для той же величины V потенциала коллектора. Чтобы рассчитать относительную толщину слоя для того же падения потенциала в слое, необходимо найти толщину слоя Чайлда a₂ для напряжения V— V₀. Тогда получим

a/a₂ = (-1)^1/2(+2)(η-1)^-3/4.                                                                                (2.49)

Относительная толщина слоя как функция ηпредставлена на рис. 2.5 [кривые а (2.48) и б (2.49)]. Как можно видеть, абсолютная толщина заметно возрастает с начальной энергией ионов даже при не слишком больших значениях V/V₀. Полезно отметить, что выражение

                                                                                 (2.50)

хорошо аппроксимирует (2.49) при η > 2 и может быть использовано вместо (2.48) при η > 8 с точностью, достаточной для большинства приложений.

В проведенном анализе были рассмотрены электроны или ионы, которые, согласно рис. 2.1, двигались слева направо, т.е. удалялись от поверхности с нулевым градиентом потенциала. Ситуация полностью аналогична и в случае ионов, движущихся по-другому, а именно, замедляющихся в направлении к границе с нулевым градиентом потенциала. Один из двух слоев, рассмотренных в задаче 2.8, — тормозящий слой, удовлетворяющий этому условию.