Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 4

Что и требовалось доказать.

        ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

Обозначим . Поведение числителя и знаменателя этой                 дроби определяется их старшими степенями, поэтому ряд для сравнения выберем так: ,   – гармонический ряд.

Найдем   (см.гл.4). Этот предел конечен и отличен от нуля, значит, оба ряда ведут себя одинаково, то есть расходятся по предельному признаку сравнения.

        ТЕОРЕМА (признак Даламбера). Пусть   – знакоположительный ряд и  существует  . Если  , то ряд сходится; если   – ряд расходится.

        ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию . По определению предела последовательности (см.гл.4)

, или

                                  .                                              (13.3)

1)  Пусть . Выберем  так, что . Тогда из (13.3) имеем:  . В частности,

Обозначим . Это общий член  геометрической прогрессии со знаменателем  и первым членом . Такая прогрессия  сходится, поэтому  ряд   сходится по первому признаку сравнения и свойству 2 числовых рядов (п.13.1.2).

2) Пусть . Выберем  так, что . Тогда из (13.3) имеем:  .  – ряд геометрической прогрессии, знаменатель которой . Такая прогрессия расходится, поэтому ряд   расходится по второму признаку сравнения и свойству 2 числовых рядов.

        ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства следует, что если , то есть , то с помощью этого признака исследовать поведение ряда  нельзя. Если  , то ряд может, как сходиться, так и расходиться, а признак                  Даламбера для его исследования – неподходящий инструмент. Поэтому в таких случаях надо применять другие признаки сходимости.

        ПРИМЕРЫ. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость                     

рядов:  а) ;   б) ;   в) ;   г) .

        а) .

Это означает, что признак Даламбера для исследования сходимости такого ряда не подходит.  Ранее было показано, что  сходится.

б) , следовательно, и в данном случае признаком Даламбера пользоваться нельзя. Но  – гармонический ряд, который, как было доказано, расходится.

в) Общий член этого ряда содержит функцию натурального аргумента, которая называется «эн факториал».

По определению  – произведение всех целых чисел                           от 1 до . Тогда  .

, так  как степень числителя меньше степени знаменателя (см. гл.4).

Таким образом, , значит, данный ряд сходится по признаку Даламбера.

г) ,

значит, данный ряд расходится по признаку Даламбера.

        ЗАМЕЧАНИЕ. Из рассмотренных примеров следует, что с помощью признака Даламбера можно исследовать ряды, общий член которых содержит показательную функцию или (и) факториал.

        ТЕОРЕМА (радикальный признак Коши). Пусть  – знакоположительный ряд и  существует  . Если  , то  ряд сходится;

если   – ряд расходится.

        ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию . По определению предела последовательности (см.гл.4) , или              

                                  .                                             (13.4)

1)  Пусть . Выберем  так, что . Тогда из (13.4) имеем:  . Обозначим .  – ряд геометрической прогрессии со знаменателем , поэтому  сходится, значит,                   сходится по первому признаку сравнения и свойству 2 числовых рядов.

2) Пусть . Выберем  так, что . Тогда из (13.4) имеем:  .   – общий член  геометрической прогрессии, знаменатель которой . Такая прогрессия расходится, поэтому                                        ряд  расходится по второму признаку сравнения и свойству 2 числовых рядов.

        ЗАМЕЧАНИЕ.  Из доказательств радикального признака Коши и признака Даламбера следует, что с их помощью можно исследовать поведение тех рядов, общий член которых сравним с общим членом геометрической прогрессии. Если это не так, то применение и того, и другого признака не приведет к определенному результату (получим ). Поэтому если , то для                 исследования ряда надо выбрать другой признак, но не признак Даламбера.

        ПРИМЕРЫ. С помощью радикального признака Коши исследовать                       сходимость рядов: а) ;   б) ;   в) ;   г) .

При использовании радикального признака Коши полезно вспомнить, что                                     

, а также что 

(второй замечательный предел) (см. гл.4).