Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 12

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты, определенные по формулам (13.30), (13.34) и (13.35), называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (13.27) с такими коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье функции .

        ЗАМЕЧАНИЕ. Название «тригонометрический» некоторого функционального ряда означает, что этот ряд имеет вполне определенный вид: его членами являются тригонометрические функции вида  и  с теми или иными коэффициентами. Название же «ряд Фурье» указывает на вполне определенное происхождение его коэффициентов: формулы (13.30), (13.34) и (13.35).

Переход от отрезка  к любому другому не является принципиальным и, как будет показано позже, может быть легко осуществлен.

Теперь так же, как и при изучении ряда Тейлора,  поставим вопрос: какими свойствами должна обладать функция , чтобы составленный для нее ряд Фурье сходился, причем именно к той функции, для которой он составлен?

Ответ на этот вопрос содержится в теореме Дирихле.

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется кусочно-монотонной                 на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число частей так, что на каждой из них функция монотонна, то есть либо убывает, либо                     возрастает, либо постоянна.

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Функция  называется кусочно-непрерывной              на отрезке , если она имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

        ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  удовлетворяет условиям Дирихле               на отрезке , если она на этом отрезке кусочно-монотонна и кусочно-непрерывна.

        ПРИМЕР. а) Функция  удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке  и не удовлетворяет этим условиям на : в точке  она имеет                       разрыв второго рода (рис. 5).   

б) Функция  (рис. 6) удовлетворяет условиям Дирихле                                   на отрезке  .                  в) Функция  на отрезке  имеет бесконечное множество интервалов монотонности, так как монотонна на отрезках  .                  Из этого следует, что она не является кусочно-монотонной на . Кроме                того,  точка  – точка разрыва второго рода:  не существует (см.гл.4).  Значит, эта функция  не удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке . На любом отрезке, не содержащем точку , условия Дирихле для этой функции выполнены.

        ТЕОРЕМА Дирихле (достаточное условие разложимости функции                        в  ряд Фурье). Пусть -периодическая функция  удовлетворяет на отрезке  условиям Дирихле. Тогда составленный для нее тригонометрический ряд Фурье  сходится . При этом, если  – точка непрерывности , то его сумма ; если же  – точка разрыва первого рода, то сумма ряда , где  и  – левый и правый пределы  в этой точке.

Без доказательства.

        ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье функцию .

Такая постановка задачи означает, что задан один период -периодической функции (рис.7), которую нужно разложить в ряд Фурье.

 

Найдем коэффициенты ряда по формулам (13.30), (13.34) и (13.35).

;     

.

Следовательно, в соответствии с (13.28)

.

По теореме Дирихле сумма этого ряда в точках разрыва отличается от значений функции в этих точках, в остальных точках они совпадают. Например, , . График суммы ряда представлен  на рис.8.  

 

По определению сходимости ряда его частичные суммы приближают сумму с различной точностью: чем больше номер  частичной суммы, тем точнее приближение .  На рис. 9  показан характер  приближения данной  функции  частичными суммами построенного ряда Фурье.

 

-3π        -2π        -π       0           π          2π        3π        4π      х

        ЗАМЕЧАНИЕ. Полученный ряд сходится по теореме Дирихле , например, в точке . Сумма ряда в этой точке равна , то есть .  Отсюда следует, что знакопеременный ряд  сходится.

Заметим, что признаки сходимости рядов, изученные в п.13.1, не позволяли                          исследовать поведение такого ряда. Кроме того, легко находится и его сумма:

.