Математика \ Математика

Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 2

Таким образом, о сумме можно говорить лишь тогда, когда существует конечный . В этом случае бесконечная геометрическая прогрессия называется сходящейся. Если этот предел не существует или бесконечен, то будем называть прогрессию расходящейся.

Итак,

1. Пусть . В этом случае прогрессия называется бесконечно убывающей, она сходится, а ее сумма

. (13.1)

Для такой прогрессии с точностью .

2. Пусть . В этом случае геометрическая прогрессия расходится и суммы не имеет.

3. Если , то .

4. Если , то суммы с четными номерами , а с нечетными – . Это означает, что не существует.

В обоих случаях прогрессия расходится.

Таким образом, бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если является бесконечно убывающей, то есть при . Если , то геометрическая прогрессия расходится и суммы не имеет.

13.1.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Рассмотрим последовательность действительных чисел .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовым рядом называется выражение

называется первым членом ряда, – -м, или общим членом.

Ряд считается заданным, если задан его общий член.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма первых слагаемых ряда называется его -й частичной суммой: .

ПРИМЕРЫ.

а) ;

б) ;

в) .

Рассмотрим последовательности частичных сумм этих рядов:

а) . Заметим, что , поэтому

, …,

Естественно считать, что .

б) , поэтому сумма ряда не существует.

в) не существует, значит, ряд суммы не имеет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм . Этот предел называется суммой сходящегося ряда: .

Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то называется -м остатком сходящегося ряда.

Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов.

1. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим .

По условию существуют конечные пределы и . Тогда , отсюда . Это по определению означает, что ряд сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из сходимости ряда не следует сходимость и .

ПРИМЕР. расходится, также расходится и ряд . Но сумма этих рядов равна нулю, то есть сходится.

2. Если ряд сходится, то сходится любой ряд, полученный из данного отбрасыванием или дописыванием любого конечного числа слагаемых.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть отброшено слагаемых, сумма которых равна . Найдется частичная сумма данного ряда, в которой содержатся все отброшенные слагаемые (во всех суммах с большими номерами они тоже содержатся). Поэтому и , где – сумма исходного ряда. Это по определению означает, что ряд, полученный после отбрасывания его членов, сходится.

Случай дописывания конечного числа членов ряда доказывается аналогично.

Из доказательства этого свойства следует, что его можно переформулировать следующим образом: произвольное изменение конечного числа членов ряда не влияет на его поведение, то есть сходящийся ряд остается сходящимся, а расходящийся – расходящимся.

13.1.3. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

Не всегда можно точно найти сумму сходящегося ряда, как это было сделано, например, для ряда . Однако, если быть уверенным в том, что рассматриваемый ряд сходится, можно найти его сумму приближенно со сколь угодно большой точностью, так как , где – частичная сумма ряда с достаточно большим номером. Для этого рассмотрим теоремы, которые называются признаками сходимости числовых рядов. Они позволяют установить факт сходимости (или расходимости) ряда не по определению, а с помощью более простых и технологичных приемов.