Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 3

Исследовать на сходимость – значит, ответить на вопрос: данный ряд сходится или расходится?

Найдем предел общего члена ряда: . Так как этот предел отличен от нуля, то ряд расходится по необходимому признаку.

ЗАМЕЧАНИЕ. Необходимый признак сходимости достаточным не является, то есть из того, что , нельзя заключить, что ряд сходится: в этом случае он может как сходиться, так и расходиться.

ПРИМЕР. Рассмотрим ряд . Числовой ряд такого вида называется гармоническим рядом.

Заметим, что его общий член стремится к нулю: . Покажем, что, тем не менее, гармонический ряд расходится.

Сгруппируем слагаемые гармонического ряда таким образом:

и построим вспомогательный ряд:

Обозначим частичную сумму гармонического ряда , а – частичную сумму вспомогательного ряда. Тогда

По теореме о предельном переходе в неравенствах (см.гл.4)

Следовательно, гармонический ряд расходится. Вычисляя его частичные суммы, можно увидеть, что он расходится очень медленно: к примеру, , а .

13.1.4. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Рассмотрим числовой ряд , все члены которого положительны. Такой ряд будем называть знакоположительным.

Так как , то , то есть последовательность его частичных сумм возрастает.

В таком случае возможны два варианта (см.гл.4):

а) если неограниченно растет, то , значит, ряд расходится;

б) если возрастает и остается ограниченной сверху, то существует конечный и ряд сходится.

Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного ряда достаточно доказать ограниченность сверху последовательности его частичных сумм.

ТЕОРЕМА (первый признак сравнения сходимости знакоположительных рядов). Пусть и – знакоположительные ряды. Если, начиная с некоторого номера, и ряд сходится, то сходится и ряд .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то будем считать, что неравенство выполняется .

Обозначим – частичные суммы данных рядов. Очевидно, что , кроме того, так как – знакоположительный ряд, то возрастает. Этот ряд по условию сходится, поэтому существует , причем .

Таким образом, , то есть ограничена сверху, поэтому сходится. Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (второй признак сравнения сходимости знакоположительных рядов). Пусть и – знакоположительные ряды. Если, начиная с некоторого номера, и ряд расходится, то расходится и ряд .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отбросим члены данных рядов, для которых неравенство неверно.

Так как – расходящийся знакоположительный ряд, то , . Отсюда , то есть , Это означает, что ряд расходится.

ПРИМЕР. Исследовать сходимость рядов: а) ; б) .

а) Обозначим . В качестве ряда для сравнения выберем гармонический ряд . Он расходится и . Значит, по второму признаку сравнения также расходится.

б) Обозначив , получим, что . Но больший ряд расходится, а потому сделать вывод о поведении меньшего ряда нельзя.

Попробуем найти другой ряд для сравнения: пусть . Этот ряд, как было показано в п.13.1.2, сходится и в таком случае

Следовательно, сходится по первому признаку сравнения.

Рассмотренные примеры показывают, что правильный выбор ряда для сравнения требует опыта и интуиции. Более простым в этом смысле является предельный признак сравнения сходимости.

ТЕОРЕМА (предельный признак сравнения сходимости знакоположительных рядов). Пусть и – знакоположительные ряды. Если существует конечный , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.