Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 11

, так как при достаточно больших , а (см.гл.4).

Отсюда полученный ряд сходится, когда , то есть .

Можно доказать, что остаточный член (13.25) при таких стремится к нулю, если .

Таким образом,

(13.26)

Функция называется биномом, поэтому полученный ряд (13.26) называется биномиальным.

При натуральных значениях разложение будет конечным. В частности, при можно получить известные формулы сокращенного умножения:

;

8. .

Так как , то разложение в ряд Маклорена функции можно получить, используя биномиальный ряд (13.26).

Обозначим и напишем биномиальный ряд для :

Упростим это выражение. Во-первых, заметим, что

. Во-вторых, воспользуемся обозначениями – произведение всех четных чисел от 2 до – и – произведение всех нечетных чисел от 1 до .

Теперь имеем:

, отсюда

Так как , то, проинтегрировав полученный ряд почленно на интервале сходимости, получим:

13.2.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена, кроме несомненных достоинств, обладает и рядом недостатков. К их числу относится то обстоятельство, что суммами сходящихся степенных рядов могут быть лишь бесконечно дифференцируемые функции. Однако в математике и ее приложениях приходится исследовать не только недифференцируемые функции, но и функции, имеющие «скачки», то есть разрывы первого рода.

Кроме того, многие процессы в физике и технике являются периодическими (например, переменный ток) и потому описываются периодическими функциями, характеризуемыми равенством , где период.

Простейшими периодическими функциями являются , с наименьшим периодом (коэффициент называется частотой) и , для которой любое действительное число является периодом. Из таких простых функций могут быть составлены и более сложные, причем при их составлении необходимо использовать синусоидальные величины разных частот. Например, функция является периодической с наименьшим периодом , однако она существенно отличается от функций, из которых составлена.

Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию с периодом представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного числа простейших периодических функций?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональный ряд вида

(13.27)

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (13.27) сходится, то его сумма является -периодической функцией .

Пусть -периодическая функция является суммой тригонометрического ряда (13.27):

. (13.28)

Предположим, что существует и равен сумме интегралов от членов ряда в правой части равенства (13.28).

Чтобы найти коэффициенты этого ряда, проинтегрируем обе части (13.28):

Так как

, (13.29)

а , то , откуда

. (13.30)

Для вычисления остальных коэффициентов нам потребуются следующие интегралы (см. п.8.5):

, (13.31)

, (13.32)

. (13.33)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции и называются ортогональными на отрезке , если .

Равенства (13.29), (13.31) – (13.33) означают, что система функций является ортогональной на отрезке , так как функции этой системы попарно ортогональны. Поэтому представление функции в виде ряда (13.28) можно назвать разложением ее по системе ортогональных на отрезке функций.