ЗАМЕЧАНИЕ. Функции, для которых формальный ряд Тейлора
составить можно, но он ни при каких значениях , кроме
, к ним не сходится, существуют.
Примером такой
функции является (рис. 4).
![]() |
Можно показать
(с помощью довольно трудоемких вычислений), что ,
поэтому ряд Тейлора для этой функции в окрестности точки
имеет вид:
. Сумма
этого ряда равна нулю
, то есть формальный ряд
сходится, но не к той функции, для которой он составлен.
Остаточный
член ряда Тейлора , очевидно, сам является рядом.
Однако он может быть представлен и в конечном виде. Например, можно
доказать, что между
и
существует
точка
такая, что
. (13.15)
(13.15) называется остаточным членом ряда Тейлора в форме Лагранжа.
13.2.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В РЯД МАКЛОРЕНА
Если
положить , то ряд Тейлора для функции
примет вид:
. (13.16)
Степенной ряд (13.16) называется рядом Маклорена.
Остаточный член в форме Лагранжа (13.15) в этом случае имеет вид:
, (13.17)
где находится между
и
.
Как было доказано
выше, ряд (13.16) сходится к функции для
всех
, при которых
.
ЛЕММА. . (13.18)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим степенной ряд (13.12) с общим членом . В п.13.2.2 было показано, что он
сходится на всей числовой прямой, откуда по необходимому признаку сходимости
следует, что
.
Что и требовалось доказать.
Представим основные элементарные функции в виде ряда Маклорена (13.16).
1.
.
Вычислим
коэффициенты ряда .
Составим формальный ряд:
. (13.19)
Его остаточный член (13.17) имеет вид:
. Так как
, то с
учетом (13.18) получаем, что
, а это означает, что ряд (13.19) сходится
на всей числовой оси к функции, для которой он составлен.
Таким образом,
. (13.20)
ПРИМЕР.
Вычислить приближенно с точностью
.
Как известно,
функция не имеет элементарной первообразной (см.
гл.7), поэтому нельзя найти точное значение этого интеграла с помощью формулы
Ньютона-Лейбница.
Для приближенного вычисления воспользуемся разложением (13.20) и теоремой об оценке остатка знакочередующегося ряда:
с точностью .
2. .
Степенной
ряд (13.20) можно почленно дифференцировать, при этом его интервал сходимости
не изменится. Поэтому, вычислив производную от обеих частей (13.20), получим
разложение в ряд Маклорена функции :
. (13.21)
3. .
Так как , то
, и
формальный ряд для этой функции имеет вид:
.
Его
остаточный член в форме Лагранжа , где
находится между
и
. Исследуем поведение остаточного члена
ряда.
Если , то
.
Значит,
при всех
.
Если , то
при любом
фиксированном
. Следовательно, и при всех
.
Таким образом,
составленный формальный ряд сходится на всей числовой оси к функции . Поэтому
. (13.22)
Из (13.22), в частности, следует, что
.
4. – гиперболический косинус
.
Заменив
в (13.22) на
,
получим:
(13.23)
Найдем теперь полусумму абсолютно сходящихся рядов (13.22) и (13.23):
.
5. – гиперболический синус
.
Разложение в ряд этой функции может быть получено как полуразность рядов (13.22) и (13.23):
.
6. .
Заметим,
что , а выражение
можно
трактовать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
в соответствии с (13.1) первый член
, а знаменатель
, причем
. Следовательно,
.
Так как , то, проинтегрировав этот ряд почленно на
интервале сходимости, получим:
. (13.24)
ЗАМЕЧАНИЕ. Ряд (13.24) сходится не только во всех точках интервала
, то и при
, что
легко проверяется с помощью признака Лейбница. Поэтому можно заключить, что
.
7. .
Вычислим
коэффициенты ряда .
Составим формальный ряд:
.
Поведение при остаточного члена этого ряда
(13.25)
весьма трудоемко. Поэтому найдем его интервал сходимости: составим ряд из модулей членов ряда и применим признак Даламбера.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.