Числовые и функциональные ряды: Конспект лекций (Геометрическая прогрессия. Экстремальное свойство сумм Фурье), страница 10

ЗАМЕЧАНИЕ. Функции, для которых формальный ряд Тейлора составить можно, но он ни при каких значениях , кроме  , к ним не сходится,                    существуют.     

Примером такой функции является    (рис. 4).

 

Можно показать (с помощью довольно трудоемких вычислений), что , поэтому  ряд Тейлора для этой функции в окрестности                  точки  имеет вид: . Сумма этого ряда равна нулю  , то есть формальный ряд сходится, но не к той функции, для                   которой он составлен.

Остаточный член ряда Тейлора , очевидно, сам является рядом. Однако он может быть представлен и в конечном виде. Например, можно доказать, что между    и    существует точка    такая, что

                       .                                      (13.15)

(13.15) называется остаточным членом ряда Тейлора в форме Лагранжа.

13.2.5.  РАЗЛОЖЕНИЕ  ОСНОВНЫХ  ЭЛЕМЕНТАРНЫХ  ФУНКЦИЙ

 В РЯД  МАКЛОРЕНА

Если положить , то ряд Тейлора для функции  примет вид:

.              (13.16)

Степенной ряд (13.16) называется рядом Маклорена.

Остаточный член в форме Лагранжа (13.15) в этом случае имеет вид:

                                    ,                                          (13.17)

где    находится между  и .

Как было доказано выше, ряд (13.16) сходится к функции  для всех , при которых .

ЛЕММА.  .                                                                   (13.18)     

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим степенной ряд (13.12) с общим членом .  В п.13.2.2 было показано, что он сходится на всей числовой прямой, откуда по необходимому признаку сходимости следует, что .

Что и требовалось доказать.

Представим основные элементарные функции в виде ряда Маклорена (13.16).

        1. .

Вычислим коэффициенты ряда .

Составим формальный ряд:

      .                         (13.19)

Его остаточный член (13.17) имеет вид:

.  Так как , то с учетом (13.18) получаем, что   , а это означает, что ряд (13.19) сходится на всей числовой оси к функции, для которой он составлен.

Таким образом,

     .             (13.20)

ПРИМЕР. Вычислить приближенно  с точностью .

Как известно, функция    не имеет элементарной первообразной                     (см. гл.7), поэтому нельзя найти точное значение этого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Для приближенного вычисления воспользуемся разложением (13.20) и теоремой об оценке остатка знакочередующегося ряда:

   

с точностью .

2. .

Степенной ряд (13.20) можно почленно дифференцировать, при этом  его интервал сходимости не изменится. Поэтому, вычислив производную от обеих частей (13.20), получим разложение в ряд Маклорена функции :

.           (13.21)

3. .

Так как , то , и формальный ряд для этой функции имеет вид:

.

Его остаточный член  в форме Лагранжа , где  находится между  и . Исследуем поведение остаточного члена ряда.

Если , то . Значит,  при всех .

Если , то   при               любом фиксированном . Следовательно, и при всех  .

Таким образом, составленный формальный ряд сходится на всей числовой оси к функции . Поэтому

       .                     (13.22)

Из (13.22), в частности, следует, что

.

4.  – гиперболический косинус .

Заменив в (13.22)  на , получим:

                             (13.23)

Найдем теперь полусумму абсолютно сходящихся рядов (13.22) и (13.23):

. 

5.   – гиперболический синус .

Разложение в ряд этой функции может быть получено как полуразность рядов (13.22) и (13.23):

.

6. .

Заметим, что , а выражение  можно трактовать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой в соответствии с (13.1) первый член , а знаменатель , причем  . Следовательно,

.

Так как , то, проинтегрировав этот ряд почленно на интервале сходимости, получим:

       .           (13.24)

ЗАМЕЧАНИЕ.  Ряд (13.24) сходится не только во всех точках интервала , то и при , что легко проверяется с помощью признака Лейбница. Поэтому можно заключить, что

.

7. .

Вычислим коэффициенты ряда .

Составим формальный ряд:

.

Поведение при   остаточного члена этого ряда

                                              (13.25)

весьма трудоемко. Поэтому найдем его интервал сходимости: составим ряд из модулей  членов ряда и применим признак Даламбера.