Математика \ Численные методы

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод сеток решения уравнений параболического типа, страница 5

Система, имеющая решение, называется совместной, система, не имеющая решения,-несовместной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одни и те же решения.

Систему (1) кратко можно записать в виде матричного уравнения

. (3)

Если определитель матрицы А не равен нулю (матрица неособенная), то решение системы (3) существует и единственно.

Метод итерации можно применять к решению линейной системы (1), если преобразовать ее к специальному виду. Прежде, чем проводить преобразования, необходимо проверить выполнение условий сходимости метода итерации.

Для того, чтобы метод итерации сходился, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости для системы (1): метод итерации сходится, если выполнены неравенства

> (i = 1, 2, ..., n), (4)

т. е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов.

Преобразуем систему (1) к специальному виду: разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе – относительно x₂, третье – относительно x₃ и т. д. В результате получим эквивалентную систему

(5)

Если ввести обозначения , , при и при (i, j = 1, 2, …., n), то систему (5) можно представить в виде

, (6)

или в матричной форме

, (7)

где матрица a - это матрица с нулевыми диагональными элементами. В качестве начального приближения можно принять столбец свободных членов (хотя это не является обязательным условием). Матрицу подставляем в правую часть системы (6) и получим . Далее подставим в правую часть (7), получим и т. д. Таким образом, любое (n + 1) приближение вычисляется по формуле

. (8)

Достаточное условие сходимости процесса итерации:

если для приведенной системы (6) выполнено по меньшей мере одно из условий

< 1 (i = 1, 2, 3, …, n) или < 1 (j = 1, 2, 3, …, n), (9)

то процесс итерации (8) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Замечание1. Решение системы может быть получено с заданным числом точных десятичных знаков. Чтобы избежать накопления погрешностей в промежуточных вычислениях, последовательные приближения , i = 0, 1, 2,… вычисляют до совпадения всех требуемых знаков, после чего запасные знаки округляются.

Оценка погрешности для метода итерации:

≤. (10)

Пример.

Методом итерации решить систему уравнений

и оценить число необходимых для этого шагов.

Видно, что условие сходимости (4) для данной системы не выполняется, так как в уравнениях (а) и (b) нет диагонального преобладания. Для применения метода итерации необходимо преобразовать заданную систему к такому виду, для которого будет выполняться условие (4). Для этого умножим уравнение (а) на γ, (b) на δ, сложим оба уравнения и в полученном выражении выберем γ и δ так, чтобы имело место диагональное преобладание.