Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод сеток решения уравнений параболического типа, страница 3

. (4)

Пример.

Методом хорд найти корни уравнения .

Построив график функции , находим, что данное уравнение имеет один действительный корень, лежащий в интервале [1,4; 1,5].

Проверим условие нахождения корня в данном интервале < 0.

f(1,4) = - 0,05788 < 0,

f(1,5) = 0,21640 > 0.

<0, следовательно, условие нахождения корня в найденном интервале выполняется.

Далее найдем .

= 1,42857 > 0,

= 1,33333 > 0.

Определим неподвижную точку согласно условию> 0. Так как > 0, то точка = 1,5 является неподвижной, а в качестве начального приближения корня выбираем точку = 1,4.

Каждое (n + 1) приближение корня вычисляем по формуле .

= 1,42152,

= 1,42153,

= 1,42153.

Сравнивая и , видим, что корнем уравнения является число = 1,42153.

Метод итерации (метод последовательных приближений)

Метод итерации является универсальным: его можно применять для решения обширного класса как линейных, так и нелинейных уравнений. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение

, (5)

где - непрерывная функция, и требуется найти его вещественные корни. Преобразуем уравнение (5) в эквивалентное уравнение вида

. (6)

Выберем начальное приближение x₀ и, подставив его в правую часть уравнения (6), получим число . Затем вычислим и т. д. Получим последовательность чисел , определяемую равенством

, n = 0, 1, 2,... (7)

Для того, чтобы последовательность сходилась к корню с уравнения (5), необходимо выполнение условия сходимости: если функция определена и дифференцируема на отрезке [a, b] и £q<1 при всех a < x < b, то процесс итерации , n = 0, 1, 2,... сходится к корню с уравнения независимо от начального значения .

Условие сходимости метода итерации

£q <1, (8)

где q – максимальное значение производной на интервале, в котором находится корень уравнения (если корней несколько, то условие сходимости должно выполняться для каждого интервала).

Чем ближе к нулю максимальное значение производной q, тем выше скорость сходимости метода.

Замечание. Пусть в некоторой окрестности [a, b] корня с уравнения производная сохраняет постоянный знак и выполнено неравенство £q<1. Тогда, если производная положительна, т. е. 0££q<1, то последовательные приближения , n = 0, 1, 2,..., сходятся к корню монотонно. Если же производная отрицательна, т.е. -1<-q££0 то последовательные приближения колеблются около корня с.

Для метода итерации большое значение имеет способ преобразования уравнения (5) к виду (6), т. е. выбор функции , которая должна подчиняться условию сходимости £ q <1.