Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 9

1°. Каждое вещественное число попадает в одно и только одно из множеств А₁, А₂ и сверх того:

2°. Каждое число a₁ множества А₁ меньше каждого числа a₂ множества А₂.

Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения найдется – в множестве вещественных чисел – пограничное число, производящее это сечение, или в этом множестве существуют пробелы? Оказывается, что на деле таких пробелов уже нет.

Основная теорема (Дедекинда). Для всякого сечения (А₁, А₂) в множестве вещественных чисел существует вещественное число b, которое производит это сечение. Это число b будет: 1) либо наибольшим в нижнем классе А₁,     2) либо наименьшим в верхнем классе А₂.

Это свойство множества вещественных чисел называют его полнотой, а также – непрерывностью или сплошностью.

Доказательство в [17].

В чем теория Кантора отлична от теории Дедекинда? Дедекинд изначально отмечает тот факт, что на прямой есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Таким образом, он изначально предполагает, что какие-то другие числа существуют, и далее работает с этим. А Кантор выходит на это путем изучения совокупности всех действительных алгебраических чисел.

1.4.  Взаимосвязь выделенных задач

Итак, изучив эти работы, я выделила три задачи, приводящие к понятию иррационального числа:

1)  задача соизмерения величин (пифагорейцы);

2)  задача приближения (метод Ньютона);

3)  задача пополнения числового множества (Коши, Дедекинд, Кантор).

 Все эти задачи взаимосвязаны, и можно сказать, что каждая задача является логическим продолжением предыдущей. Далее я покажу это.

Характерным для пифагорейцев было стремление соизмерять все величины между собой,  отыскивая их общую меру и раскрывая гармоническую связь между ними. И вот 2500 лет назад пифагорейцами было обнаружено, что существуют несоизмеримые величины, то есть величины, отношение которых не может быть выражено парой чисел. Факт существования несоизмеримых величин впервые был обнаружен пифагорейцами, при попытках найти общую меру стороны и диагонали квадрата. Таким образом, все начинается с задачи соизмерения величин. Для нахождения отношения двух отрезков пифагорейцы изобретают процедуру антифайресиса. Алгоритм порождает последовательность. При последовательном делении может возникнуть один из двух случаев:

1)  последний остаток равен нулю, а предыдущий будет общей мерой двух отрезков;

В этом случае длины отрезков называются соизмеримыми, а их соотношение можно представить в виде обыкновенной дроби.

2)  операция для получения общей меры приводит к новому аналогичному с первоначальным подразделению получившихся от деления отрезков, отсюда становится ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, т.е. не будет остатка равного нулю. Причем последовательные остатки непрерывно уменьшаются и могут быть сделаны меньше любой заданной величины.

На каждом шаге ситуация подобия будет повторяться. Бесконечность можно выражать алгебраически (в виде цепной дроби), реально геометрически это выглядит как конструкция подобий возникающих на каждом шаге.

Общая мера будет отсутствовать.

Во этом случае – отношение отрезков является несоизмеримым, и его нельзя выразить рациональным числом. Соответственно появляется иррациональное число как предел последовательности.