Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 11

И ключ к понятию, на мой взгляд, лежит именно в ньютоновском тезисе, что число – это отношение величин.

Глава начинается с описания представлений иррационального числа используемых в современной математике. Далее показано, что все взятые для анализа курсы введения иррационального числа, вводят это понятие, работая с представлениями объекта.

2.1. Представления иррационального числа

На основе изучения математической литературы было выделено четыре способа представления иррационального числа:

1)  бесконечная десятичная непериодическая дробь;

2)  корень уравнения второй степени;

3)  аппарат непрерывных дробей (цепная периодическая дробь);

4)  отношение элементов геометрической фигуры.

Кратко изложим суть каждого представления.

Представления иррационального числа  в виде бесконечной десятичной непериодической дроби

Общеизвестным представлением любого положительного вещественного числа является десятичная дробь. Десятичная дробь рационального числа конечна:

=N,n₁…n_k,  например =0,5.

Или с некоторого момента начинает повторяться группа цифр, называемая периодом десятичной дроби. Сама десятичная дробь в этом случае бесконечная, но периодическая:

=N,n₁…n_kn₁…n_k…=N₁,(n₁…n_k),

например:             =0,142857142857=0,(142857);

=N,p₁…p_mn₁…n_kn₁…n_k…=N₁,p₁…p_m(n₁…n_k),

например:             =0,340909=0,34(09).

Десятичная дробь иррационального числа не прерывается и не повторяется:

N,n₁…n_k…

например:

- иррациональное число 0,10100100010…(единица последовательно встречается через одну, две, три позиции и т.д.);

-  иррациональное число 0,1234567891011… (после запятой подряд помещаются все натуральные числа);

-  число 2,7182818…в десятичной записи которого нельзя обнаружить никакой закономерности [].

Представления иррационального числа  в виде корня уравнения второй степени

Для представления иррациональных чисел в математике используются символы (радикалы): ,  и т.д. Квадратные, кубические  корни натуральных чисел, не являющиеся квадратами, кубами натуральных чисел называются квадратичными, кубическими иррациональностями соответственно. Ограничимся рассмотрением квадратичных иррациональностей, т.е. таких, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Например,  - квадратичная иррациональность, т.к.  – корень уравнения х²-5=0.

Итак, другим подходом к представлению иррационального числа является символьная запись. Недостатком является то, что такая запись числа не позволяет производить каких либо действий с числом, устанавливать значения, говорить о рациональности или иррациональности, говорить о расположении числа на прямой.

Представления иррационального числа  в виде цепной периодической дроби