Но соизмеримость - лишь один из этапов в появлении и формировании понятия иррационального числа. Уже пифагорейцы решали задачу приближения величин (метод исчерпания).
Метод Ньютона – также метод нахождения приближенного решения. У Ньютона мы видим решение тех же задач, но в общем виде.
Мы видим как Ньютон решая задачу о нахождении приближенного решения (методом касательных) также выходит на последовательность рациональных чисел (приближений), которые сходятся к числу не рациональному. Таким образом, задача приближения также один из этапов в появлении понятия иррационального числа.
В начале 19 века возникает теория пределов Л.О. Коши. Программа Коши состоит в том, чтобы свести все задачи анализа (в том числе и задачу соизмерения) к задаче нахождения предела последовательности. Если мы вспомним процедуру антифайресиса (второй описанный выше случай), то мы видим, что последовательности Коши это в некотором роде обобщение задачи соизмерения.
В работах Коши задачи пополнения множества как таковой еще нет, мы видим лишь намек, на этом этапе это лишь первый шаг к появлению понятия иррационального числа. Этим первым шагом является критерий Коши о том, что всякая фундаментальная последовательность сходится. Таким образом, Коши удается выделить критерий сходимости (фундаментальные последовательности) и именно тогда был поставлен вопрос о том в каком множестве лежат приделы.
Итак, лишь следующее поколение математиков (Рихард Дедекинд и Георг Кантор) ставят задачу пополнения множества в полной мере. Георг Кантор в своей работе «Обобщение одной теоремы из теории тригонометрических рядов» [17] рассматривает те случаи, когда последовательность рациональных чисел сходится к числу иной природы. В своей работе Кантор также пользуется геометрическими подходами.
Попытки освободить понятие иррационального числа от связи с процессом измерения величин, мы видим в работе Р. Дедекинда. Дедекинд выдвинул требование построить систему действительных чисел, не ссылаясь на процесс измерения величин, чисто арифметическим путем – исходя из системы рациональных чисел. В основе теории иррациональных чисел Р. Дедекинда лежит понятие о сечении в области рациональных чисел. Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, обнаруживается, что иной раз для такого сечения в этом множестве не находилось пограничного числа, про которое можно бы было сказать, что оно производит сечение. Именно эта неполнота множества рациональных чисел, наличие в ней этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел – иррациональных.
И это приводит во второй половине XIX в. к иному определению иррационального числа. Это определение опирается не на геометрический материал, а на алгебраический. Иррациональное число полностью определяется через числа рациональные. Таким образом, сразу в нескольких формах была построена теория действительного числа.
ГЛАВА 2. СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА
Целью этой главы является анализ нескольких источников по теме «Иррациональное число». Меня интересовало, как в существующих курсах вводится понятие иррационального числа, соответствует ли введение понятия его историческому появлению и развитию, т.е. имеют ли дело существующие курсы с ситуацией генезиса понятия.
Я выделила два хода по изучению иррациональных чисел:
3) изучение представлений иррациональных чисел;
4) деятельностная задача, связанная с отношением величин.
Таким образом, мы видим, что есть разные способы ввести понятие. Но, на наш взгляд, для качественного введения понятия иррационального числа необходимо различать объект и его представления. Так, например, квадратный корень и бесконечная непрерывная десятичная дробь - это всего лишь знаки, представляющие объект. Гораздо разумнее ввести интуитивное представление об объекте.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.