Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 6

1.3.  Задача пополнения числового множества как одна из задач приводящих к появлению понятия иррационального числа

Работы Л.О. Коши являются первым шагом к постановке задачи пополнения числового множества. И лишь следующее поколение математиков (Р. Дедекинд, Г. Кантор), ставят задачу пополнения множества в полной мере.

В начале 19 века возникает теория пределов Л.О. Коши. Программа Коши состоит в том, чтобы свести все задачи анализа (в том числе и задачу соизмерения) к задаче нахождения предела последовательности.

Определение сходимости последовательности {х_n} связано с пределом х этой последовательности, который как правило, не известен заранее. Это определение не позволяет непосредственно проверять сходимость последовательностей, если мы не знаем их пределов. Поэтому очень важное значение имеет «внутренний» признак сходимости последовательности {х_n}, не связанный со знанием предела. Таким признаком является критерий Коши.

Коши вводит понятие фундаментальной последовательности [17].

Определение. Последовательность {х_n} называется фундаментальной, если для любого e>0 найдется номер N(e) такой, что при всех n, m ³ N(e) выполнено неравенство

ç x_n - x_m ç<e      .

Отметим некоторые очевидные следствия определения фундаментальной последовательности:

a)  фундаментальная последовательность ограничена;

b)  при произвольном e>0 можно указать такой номер N, что в e-окрестности любого элемента х_n при n ³ N содержаться все элементы последовательности { х_n }, за исключением конечного числа.

Теорема (критерий сходимости Коши). Для того чтобы последовательность { х_n } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство в [22].

Таким образом, на данном этапе первым шагом является положение Коши о том, что всякая фундаментальная последовательность сходится. И уже в работах Дедекинда и Кантора мы видим как дальше строится теория иррационального числа.

Посмотрим, как задача пополнения числового множества в свое время возникает и перед Георгом Кантором. Об этом мы узнаем из следующей его работы «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел» [17].

В данной работе Кантор изучает совокупность всех действительных алгебраических чисел.  Под действительным алгебраическим числом вообще будет пониматься действительная числовая величина w, удовлетворяющая отличному от тождества уравнению вида

а₀ w^п+а₁ w ^п-1 +…+а_п=0,     (1)

где п,а₀ , а₁ ,…,а_п – целые числа; при этом числа п и а₀  можно брать положительными, коэффициенты а₀ , а₁ ,…,а_п – взаимно простыми, а уравнение (1)- неприводимым. Этими условиями достигается то, что по известным основным теоремам арифметики и алгебры уравнение (1), которому удовлетворяет некоторое алгебраическое число, оказывается вполне определенным; обратно, уравнению вида (1) соответствует, как известно, самое большое столько алгебраических чисел, какова его степень п.   Рассматриваемые все вместе, действительные алгебраические числа образуют некоторую совокупность числовых величин, которая будет обозначаться через (w). Совокупности (w) можно однозначно поставить в соответствие совокупность всех целых положительных чисел n, которая буде обозначаться через (n), и при том так, что всякому алгебраическому числу w соответствует определенное положительное число n и, наоборот, всякому целому положительному числу n соответствует определенное число w; т.е. совокупность (w) можно мыслить в форме законченной бесконечной последовательности