Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 4

Сократ. Ну и как, нашли вы такое имя?

Теэтет. По моему нашли, но смотри сам.

Сократ. Говори, говори.

Теэтет. Мы разделили все числа на два рода. Те, которые можно получить, взяв какое-нибудь число равное ему число раз, мы назвали, уподобляя их по фигуре квадрату, квадратными.

Сократ. Превосходно.

Теэтет. А те, что находятся между ними, например три, пять, и вообще всякое число, которое не может произойти от умножения какого-нибудь числа на само себя, но только от умножения большего на меньшее или меньшего на большее, так что фигурно оно изображается прямоугольником с неравными сторонами, мы соответственно назвали продолговатым.

Сократ. Отлично. Но что потом?

Теэтет. Всякий отрезок, который при построении на нем квадрата дает площадь, выражаемую квадратным числом, мы назвали соизмеримым по длине с однофутовым отрезком. Отрезки же, для которых площади построенных на них квадратов выражаются продолговатыми числами, мы назвали потенциями, поскольку они несоизмеримы с первыми по длине, но соизмеримы по образуемым площадям. Так же и для объемных тел.

Отыскивая два квадратных числа, одно из которых в два раза больше другого Феодор рассуждал так: число а² является четным (оно состоит из двух половин по b² единиц в каждой). Но четное квадратное число может быть разделено на четыре квадратных числа: а²=4с². Тем самым b²=2с². Поэтому число b² является четным и может быть разделено на четыре квадратных числа: b²=4d². Тем самым с²=2d². Такое деление пополам можно продолжать неограниченно. Но чисел, неограниченно делимых пополам, не существует. Поэтому следует заключить, что не существует двух квадратных чисел, одно из которых в два раза больше другого, - и тем самым прийти к выводу о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной.

Таким образом, к концу V в. до н.э. пифагореец Феодор из Кирены, основываясь на учении о четном и нечетном, показал, что стороны квадратов площади которых равны 2, 3, 5, 6, …, 15, несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т. е. числа , , , , …, , иррациональные. Феодор Киренский доказывал несоизмеримость стороны m – футового квадрата с единицей каждый раз заново: его подход не был универсальным. Способ «сломался» на числе 17. Для числа 17 «метод четных и нечетных» не работает. В начале IV в. до н.э. Теэтом было получено общее доказательство иррациональности чисел вида ,  где N – целые, не являющиеся полным квадратом. В своем доказательстве теэтет, по-видимому опирался на основную теорему созданной им же теории делимости: произведение двух целых чисел АВ делится на простое число Р тогда и толькл тогда, когда по крайней мере один из сомножителей делится на Р.

В приложении к Х  книге «Начал» Евклида приведено следующее доказательство. Числа a и b по исходному предположению являются взаимно простыми (так как в противном случае соответствующая им общая мера a не была бы наибольшей). Число а² является четным (поскольку а²=2b²). Поэтому и число а является четным (в противном случае его квадрат не был бы четным). Стало быть, число b является нечетным (в противном случае числа а и b не были бы взаимно простыми). Четное квадратное число а² может быть разделено на четыре квадратных числа: а²=4с². Тем самым b²=2с². Поэтому число b² является четным. Тем самым число b является четным (в противном случае его квадрат не был бы четным). Получилось, что число b является и четным, и нечетным, - что нелепо. Поэтому следует сделать вывод о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.