Задачи, приводящие к появлению понятия иррационального числа. Разработка материалов для учебного модуля, страница 7

w_1, w_2,…,w_n,…,         (2)

в которую входят все индивиды из (w), причем каждый из них занимает определенное место в (2), задаваемое соответствующим индексом. Как только найден один закон, по которому можно представить такое соответствие, так его можно произвольно модифицировать.

Далее приведен метод как можно поставить в соответствие совокупности всех действительных алгебраических чисел (w) совокупность всех целых положительных чисел (n)

Теорема1. Множество всех действительных алгебраических чисел счетно. Доказательство. Вернемся к уравнению (1), которому удовлетворяет алгебраическое число w. Будем называть высотой  числа w сумму абсолютных величин коэффициентов уравнения увеличенную на число n-1, где n-степень числа w

N=n-1+½a₀½+½a₁½+…+½a_n ½

Высота N всякого действительного алгебраического числа w является определенным целым положительным числом. Обратно, для всякого положительного целочисленного значения N существует лишь конечное число алгебраических действительных чисел высоты N; пусть их будет j(N); например, j(1)=1, j(2)=2, j(3)=4. Тогда числа совокупности (w) можно упорядочить следующим образом: в качестве первого числа w₁ берем число высоты N=1; за ним будут следовать j(2)=2 алгебраических числа, имеющих высоту N=2 и расположенных по величине, и их мы обозначим через w₂, w₃; за ними идут j(3)=4 числа, имеющих высоту N=3 и расположенных по величине; вообще после того как таким образом перечислены все числа из (w) до некоторой высоты N=N₁ и помещены на определенные места, то за ними следуют действительные алгебраические числа высоты N=N₁+1 причем они идут в порядке возрастания их величин. Так мы получаем совокупность (w) всех действительных алгебраических чисел в виде

w₁, w₂,…,w_n,…,

и принимая во внимание это расположение, можно говорить о n-м действительном алгебраическом числе, причем ни одно из чисел совокупности (w) не потеряно.

Далее автор устанавливает и доказывает, что если предложена любая последовательность действительных числовых величин вида (2), то во всяком заданном интервале (a…b) можно определить числа, которые не содержаться в последовательности (2). Т.е. что множество действительных чисел несчетно.

Теорема2. Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга числовых величин

w₁, w₂,…,w_n,…,                                                     (2)

то во всяком заданном интервале (a…b) можно определить число h (а значит и бесконечно много таких чисел), которое не содержаться в последовательности (2).

Доказательство в [17].

В результате автор получает новое доказательство теоремы Лиувилля, что во всяком заданном интервале  (a…b) имеется бесконечно много трансцендентных, то есть  не алгебраических действительных чисел.

Далее доказанная теорема оказывается основанием того, почему совокупность всех действительных числовых величин, образующую так называемый континуум нельзя однозначно отобразить на совокупность (n). Таким образом автор находит четкое различие между так называемым континуумом и совокупностью вида совокупности всех действительных алгебраических чисел.

Проанализировав работу Рихарда Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа» (1872 год)  [17], я также выделила задачу пополнения числового множества, как задачу, приводящую к появлению понятия иррационального числа.

В своей работе Рихард Дедекинд говоря о свойствах рациональных чисел сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. И делает вывод, что каждому рациональному числу а, т.е. каждому индивидууму в R, соответствует одна и только одна точка р, т.е. один индивидуум на L. Далее он отмечает, что важным фактом является то обстоятельство, что на прямой L есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Итак, сравнение области R рациональных чисел с прямой привело к открытию неполноты, или разрывности области R рациональных чисел, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. Действительно, если точка р соответствует рациональному числу а, то длина ор соизмерима с употребленной при построении единицей длины, т.е. существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины, несоизмеримые с данной единицей длины, - например диагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую длину от точки о на прямую, то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рациональное число. И таких длин, несоизмеримых с единицей длины, существует бесконечное множество. Отсюда утверждение: прямая L бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область R рациональных чисел индивидуумами-числами.