Математическое моделирование. Динамические и статистические системы, страница 8

          Требуется выбрать производственные мощности так, чтобы суммарные годовые затраты по всем предприятиям были минимальны.

          Пусть X_j – производственная мощность j-го предприятия; В – совокупная производственная мощность всех предприятий; D_j, d_j – соответственно наибольшая и наименьшая производственная мощность предприятий;  – годовые расчетные затраты, которые равны сумме себестоимости производства  и произведения капиталовложений  на нормативную эффективность:

.

          Задача состоит в том, чтобы найти оптимальное размещение мощностей, т.е. определить вектор  

при условиях ;

;

.

          Таким образом, мы приходим к задаче нелинейного программирования. Здесь рассмотрены самые простые примеры приложения математики к анализу экономических ситуаций. Математика открывает большие перспективы для планирования деятельности в условиях рынка и жесткой конкуренции. Перед исследователем стоит задача правильно смоделировать ситуацию. Модели могут быть разными, но одно их объединяет: они должны быть нелинейными.

          В настоящее время уровень задач, решаемых математикой в сфере экономики, очень высокий.

          Математическое истолкование экономических ситуаций: задачи об эффективности рекламы, модели типа «спрос – предложение», модели конкуренции систем внесли определенный колорит в сложившийся аппарат высшей математики. Проблемы математического моделирования экономических ситуаций достаточно хорошо разработаны. Поэтому вопросу имеется обширная литература, на которую можно ориентироваться при решении практических задач (см., например, [37]).

4.7 Статистические системы

          Статистическими называют системы, функционирование которых  базируется на причинности, действующей в форме случайности. Случайность – это зыблемость, непредсказуемость состояний, это положение вещей, отрицающее историзм.

          Причудливы и непредсказуемы движения броуновской частицы, динамика цен на рынке, количество вызовов абонентов на телефонной станции. И тем не менее в мире массовых однородных случайных событий действуют закономерности особого рода – статистические закономерности.

          Статистические системы могут быть определены на поле дискретных состояний или же на основе непрерывных множеств. Эволюция статистических систем определяется кинетическими уравнениями, принципы составления которых имеют свою специфику.

          Рассмотрим систему, которая описывается дискретными величинами. Обозначим символом  – вектор возможных состояний. Для статистических систем предметом поиска является не вектор возможных состояний , а распределение вероятности разных состояний.

          Для решения этой задачи  составляется кинетическое уравнение. Принцип составления такого уравнения аналогичен принципу составления уравнений движения динамической системы.

          Вероятность  нахождения системы в состоянии  в момент времени t увеличивается благодаря переходам в состояние  из других состояний  и уменьшается благодаря переходам из состояния  в состояние . Обозначим через  – вероятность состояния системы в момент времени t в состоянии , а через  – вероятность перехода системы из состояния  в состояние  в единицу времени (порядок векторов состояния следует справа налево).